数列极限的概念上课讲义.ppt

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1、数列极限的概念一、概念的引入引例1如何用渐近的方法求圆的面积S?用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.2、截丈问题:“一尺之棰,日截其半,万世不竭”二、数列的定义例如注意:1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列极限来自实践,它有丰富的实际背景.我们的祖先很早就对

2、数列进行了研究,早在战国时期就有了极限的概念例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒,每天截去一半,这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,三、数列的极限(c11(k))其长度组成的数列为,024681000.20.40.60.81随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义三、数列的

3、极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,

4、xn-a

5、无限接近于0.当n无限增大时,

6、xn-a

7、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,

8、xn-a

9、能小于事先给定的任意小的正数.分析因此,如果n

10、增大到一定程度以后,

11、xn-a

12、能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.下页数列极限的精确定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式

13、xna

14、

15、xna

16、.极限定义的简记形式如果数列没有极限,就说

17、数列是发散的.注意:几何解释:其中注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义,它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质,用

18、xn-a

19、<ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给ε>0标志着“要多小”的要求,用n>N表示n充分大。这个定义有三个要素:10,正数ε,20,正数N,30,不等式

20、xn-a

21、<ε(n>N)②定义中的ε具有二重性:一是ε的任意性,二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程(这个无限过程通过ε的任意性来实现),但这个无限过程又要一步步地实现,而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过ε

22、的相对固定性来实现)。③定义中的N是一个特定的项数,与给定的ε有关。重要的是它的存在性,它是在ε相对固定后才能确定的,且由

23、xn-a

24、<ε来选定,一般说来,ε越小,N越大,但须注意,对于一个固定的ε,合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时,关键在于设法由给定的ε,求出一个相应的N,使当n>N时,不等式

25、xn-a

26、<ε成立。在证明极限时ε,n,N之间的逻辑关系如下图所示

27、xn-a

28、<εn>N④定义中的不等式

29、xn-a

30、<ε(n>N)是指下面一串不等式都成立,而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项

31、都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内,同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小,呈现出一种稳定的状态,这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。OK!N找到了!!n>N目的:NO,有些点在条形域外面!●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小,N越来越大!数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意:分析:例1证明下页0,NN当nN时有

32、xna

33、.利用定义验证数列极

34、限,有时遇到的不等式

35、xn-a

36、<ε不易考虑,往往采用把

37、xn-a

38、放大的方法。若能放大到较简单的式子,就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则:①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明证明则当n>N时,有

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