拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表教学提纲.ppt

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1、拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表复数和复变函数复数的概念复数s=+j（有一个实部和一个虚部，和均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。2.2拉普拉斯变换称为虚数单位复数的表示法对于复数s=+j复平面：以为横坐标(实轴)、为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或[s]平面。复数s=+j可在复平面[s]中用点(,)表示：一个复数对应于复平面上的一个点。2.2.1复数和复变函数o复平面[s]12j12s1=1+j1s2=2+j2①复数的向量表示法复数s=+j可以

2、用从原点指向点(,)的向量表示。向量的长度称为复数的模：2.2.1复数和复变函数o12js1s2r1=

3、s1

4、r2=

5、s2

6、向量与轴的夹角称为复数s的复角：②复数的三角函数表示法与指数表示法根据复平面的图示可得：=rcos，=rsin复数的三角函数表示法：s=r(cos+jsin)2.2.1复数和复变函数o12js1s2r1=

7、s1

8、r2=

9、s2

10、欧拉公式：复数的指数表示法：③复变函数、极点与零点的概念以复数s=+j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：G(s)=u+jv式中：u、v分别为复变函数的实部和虚部。2.2.1复数

11、和复变函数当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的零点；分子为零分母为零通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。当复变函数表示成(b)当s=-pj时，G(s)→∞，则sj=-pj称为G(s)的极点。例：当s=+j时，求复变函数G(s)=s2+1的实部u和虚部v。2.2.1复数和复变函数复变函数的实部复变函数的虚部解：G(s)＝s2+1＝(+j)2+1＝2+j(2)-2+1＝(2-2+1)+j(2)拉普拉斯变换的定义拉氏变换是控制工程中的一个

12、基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。2.2拉普拉斯变换复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(t)。设有时间函数f(t)，当t<0时，f(t)＝0；在t≥0时定义函数f(t)的拉普拉斯变换为：拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件：①当t≥0时，f(t)分段连续，只有有限个间断点；②当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即2.2.2拉普拉斯变换的定义在复平面上，对于Re

13、s>a的所有复数s(Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res>a是拉普拉斯变换的定义域，a称为收敛坐标。式中：M、a为实常数。典型时间函数的拉普拉斯变换(1)单位阶跃函数单位阶跃函数定义：2.2拉普拉斯变换其拉普拉斯变换为：(2)单位脉冲函数单位脉冲函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换且：其拉普拉斯变换为：(3)单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换其拉普拉斯变换为：(4)指数函数指数函数表达式：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换式中：a是常数。其拉普拉斯变换为：(5)正弦信号函数正弦信号函数定义：2.

14、2.3典型时间函数的拉普拉斯变换由欧拉公式，正弦函数表达为：两式相减其拉普拉斯变换为：(6)余弦信号函数余弦信号函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换由欧拉公式，余弦函数表达为：两式相加其拉普拉斯变换为：拉普拉斯变换的基本性质(1)线性定理若、是任意两个复常数，且：2.2拉普拉斯变换证明：则：(2)平移定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质证明：则：(3)微分定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质证明：则：f(0)是t=0时的f(t)值同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：(3)微分定理推广到n阶导数的拉普拉斯变换：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质如果：

15、函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零，即则：(4)积分定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质则：证明：函数f(t)积分的初始值(4)积分定理同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质若：函数f(t)各重积分的初始值均为零，则有注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。(5)终值定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质则：证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于，上式可写成写出左式积分(6)初值定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质则：证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由