数学建模中的综合评价方法

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1、综合评价评价是人类社会中一项经常性的、极重要的认识活动，是决策中的基础性工作。在实际问题的解决过程中，经常遇到有关综合评价问题，如医疗质量的综合评价问题和环境质量的综合评价等。它是根据一个复杂系统同时受到多种因素影响的特点，在综合考察多个有关因素时，依据多个有关指标对复杂系统进行总评价的方法；综合评价的要点：（1）有多个评价指标，这些指标是可测量的或可量化的；（2）有一个或多个评价对象，这些对象可以是人、单位、方案、标书科研成果等；（3）根据多指标信息计算一个综合指标，把多维空间问题简化为一维空间问题中解决，可以

2、依据综合指标值大小对评价对象优劣程度进行排序。综合评价的一般步骤1．根据评价目的选择恰当的评价指标，这些指标具有很好的代表性、区别性强，而且往往可以测量，筛选评价指标主要依据专业知识，即根据有关的专业理论和实践，来分析各评价指标对结果的影响，挑选那些代表性、确定性好，有一定区别能力又互相独立的指标组成评价指标体系。2．根据评价目的，确定诸评价指标在对某事物评价中的相对重要性，或各指标的权重；3．合理确定各单个指标的评价等级及其界限；4．根据评价目的，数据特征，选择适当的综合评价方法，并根据已掌握的历史资料，建立综

3、合评价模型；5．确定多指标综合评价的等级数量界限，在对同类事物综合评价的应用实践中，对选用的评价模型进行考察，并不断修改补充，使之具有一定的科学性、实用性与先进性，然后推广应用。目前，综合评价有许多不同的方法，如综合指数法、TOPSIS法、层次分析法、RSR法、模糊综合评价法、灰色系统法等，这些方法各具特色，各有利弊，由于受多方面因素影响，怎样使评价法更为准确和科学，是人们不断研究的课题。下面仅介绍综合评价的TOPSIS法、RSR法和层次分析法的基本原理及简单的应用。8.1TOPSIS法（逼近理想解排序法）Top

4、sis法是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法。是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中的最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。8.1.1基本原理TOPSIS法是TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution的缩写，即逼近于理想解的技术，它是一种多目标决策方法。方法的基本思路是定义决策问题的理想解和负理想解，然后

5、在可行方案中找到一个方案，使其距理想解的距离最近，而距负理想解的距离最远。理想解一般是设想最好的方案，它所对应的各个属性至少达到各个方案中的最好值；负理想解是假定最坏的方案，其对应的各个属性至少不优于各个方案中的最劣值。方案排队的决策规则，是把实际可行解和理想解与负理想解作比较，若某个可行解最靠近理想解，同时又最远离负理想解，则此解是方案集的满意解。8.1.2距离的测度采用相对接近测度。设决策问题有m个目标（），n个可行解（）；并设该问题的规范化加权目标的理想解是Z*，其中，那么用欧几里得范数作为距离的测度，则从

6、任意可行解到的距离为：i=1，…，n，(8.1)式中，Zij为第j个目标对第i个方案（解）的规范化加权值。同理，设=为问题的规范化加权目标的负理想解，则任意可行解到负理想解之间的距离为：20i=1，…，n，(8.2)那么，某一可行解对于理想解的相对接近度定义为：0≤Ci≤1,i=1，…，n，(8.3)于是，若是理想解，则相应的Ci=1；若是负理想解，则相应的Ci=0。愈靠近理想解，Ci愈接近于1；反之，愈接近负理想解，Ci愈接近于0。那么，可以对Ci进行排队，以求出满意解。8.1.3TOPSIS法计算步骤第一步：

7、设某一决策问题，其决策矩阵为A.由A可以构成规范化的决策矩阵Z′，其元素为Z′ij，且有(8.4)式中，fij由决策矩阵给出。(8.5)第二步：　构造规范化的加权决策矩阵Z，其元素ZijZij=WjZ′iji=1，…，n；j=1，…，m(8.6)Wj为第j个目标的权。第三步：确定理想解和负理想解。如果决策矩阵Z中元素Zij值越大表示方案越好，则(8.7)(8.8)第四步：计算每个方案到理想点的距离Si和到负理想点的距离S-i。第五步：按式(8.3)计算Ci，并按每个方案的相对接近度Ci的大小排序，找出满意解。多目

8、标综合评价排序的方法较多，各有其应用价值。在诸多的评价方法中，TOPSIS法对原始数据的信息利用最为充分，其结果能精确的反映各评价方案之间的差距，TOPSIS对数据分布及样本含量，指标多少没有严格的限制，数据计算亦简单易行。不仅适合小样本资料，也适用于多评价对象、多指标的大样本资料。利用TOPSIS法进行综合评价，可得出良好的可比性评价排序结果。8.1.4应用实例1、TO