高数 第三章 第一节中值定理.ppt

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1、第三章　中值定理与导数应用1/19第一节　中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结、作业一、罗尔(Rolle)定理C:y=f(x)(x[a,b])连续、除端点外处处有（非垂直的）切线、两个端点的高度相同曲线段C上必有某点切线是水平的？2/19罗尔定理若f(x)在[a,b]上连续、(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在(a,b)，f()=0.使得3/19证4/19罗尔定理若f(x)在[a,b]上连续、(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在(a,b)，f()=0.使得5/19（接着证）RolleTH常用于讨论导数零点的存在性;变号点

2、以及方程的根．讨论函数的零点、6/19例1证（反证）例2证（用反证法）证毕．7/19n次实系数多项式至多有n个(不同的)实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理微分中值定理8/19拉格朗日（Lagrange）中值定理若f(x)在[a,b]上连续、(a,b)内可导,那末证拉格朗日中值公式证毕．*另证分析9/19f的精确表达式拉格朗日中值定理又称为有限增量定理.拉格朗日中值公式又称为有限增量公式.推论10/19例3证证毕.11/19例4证12/19拉格朗日中值定理将函数增量、自变量增量及导数中值联系在一起．在利用导数性质讨论函数（增量）的性质时，常用到拉格朗日

3、中值定理．三、柯西(Cauchy)中值定理L-中值TH的几何背景问题用参数方程来刻画会怎样？13/19证（利用L-中值TH）14/19柯西中值定理如果f(x)、F(x)C[a,b]、(a,b)内可导,且F(x)在(a,b)内恒不为零，则(a,b),使在15/1916/19例5证证毕．柯西中值定理将两个函数的增量比与它们的导数比联系起来．在利用两个函数的导数讨论这两个函数的比值或增量比时，常用到柯西中值定理.17/19柯西中值定理中分子、分母的导数是在同一点处的导数！例6证18/19四、小结RolleLagrangeCauchy罗尔定理、拉格朗日中值定理及

4、柯西中值定理之间的关系:注意定理成立的条件；这些中值定理是连接函数与导数的桥梁；注意柯西中值定理中的导数比是同一点处的导数．19/19作　业第三章　习题一一、1～6；二、1；四、思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.练习题