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1、一、机考套题1.判断题1.1.积分区域，则（正确）解析：知识点：估值定理.解：令fx,y=lnx+y,gx,y=f2x,y=[ln(x+y)]2.∵3≤x≤5,0≤y≤1,且函数f（x，y）在给定区域上单调递增，∴ln(3+0)=ln3＞lne=1,∴gx,y=f2x,y=[ln(x+y)]2在给定区域上单调递增,∴f(x,y)≤g(x,y)在给定区域上恒成立.故：根据二重积分性质，有1.2.若积分区域，则从二重积分的几何意义知.（正确）解析：该积分可以表示为以圆x2+y2=9为底，以9-x2-y2为高的位于第一卦限的18实心球体的体积，此为该积分的几何意义.则.1.3.在直角坐标系中，
2、三重积分中的体积元素dv=dxdydz.（正确）解析：类比法。类比在直角坐标系中，二重积分中的面积元素ds=dxdy.1.4.三重积分.（正确）解析：∵x2a2+y2b2+z2c2≤1→x2a2+y2b21-z2c2=1,则椭圆面积：S=πab（1-z2c2），且-c≤z≤c.原积分=.1.5.L为xOy平面上一光滑曲线，f(x,y),g(x,y)在L上连续，则.（正确）解析：对弧长积分的性质：设α、β均为常数，则1.6.L是圆心在原点的单位圆，则.（错误）解析：从几何意义方面讲：因为L表示的是圆心在原点的单位圆，可设，有，此时表示的是单位圆的周长；从代数运算方面讲：因为L表示的是圆心在原点
3、的单位圆，可设.1.7.L为xOy平面上一光滑有向曲线，f(x,y),g(x,y)在L上连续，f(x,y)≤g(x,y)，则（错误）解析：L为xOy平面上一光滑有向曲线，具有方向性，积分上下限无法确定.1.8.L是圆心在原点的单位圆，取逆时针方向，则.（错误）解析：因为，且L是圆心在原点的单位圆，取逆时针方向，此时有1.9.二重积分也可以看成是在平面D上的第一类曲面积分.（正确）1.10.设∑为柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限的部分，∑在yOz平面上的投影区域Dyz为yOz面上的边长分别为1,3的矩形闭区域.（正确）1.11.设∑是有向曲面，-∑表示与∑取相反侧面的有
4、向曲面，则有.（正确）1.12.设∑为球面x2+y2+z2=R2的外侧，.（错误）解析：积分对称问题.表示的是球心在原点的以R为半径的球面外侧的上半球面面积，积分为正值，而表示的是球心在原点的以R为半径的球面外侧的下半球面面积，积分为负值，故有：1.13.设曲面∑为x+y+z=1上侧，则.（正确）解析：因为x+y+z=1，故：x0y1.14.设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则有.（正确）L1解析：格林公式应用：L21.15.（x+2y）dx+(2x+y)dy在整个xOy面内是某个函数u（x，y）的全微分。（正确）解析：令P=x+2y，Q=2x+y，则，则为xoy面内的某个函数的全微分，即1.
5、16.级数，称为调和级数.（正确）1.17.设为正项级数，如果，那么当＜1时，级数收敛（正确）1.18.如果级数在x=x0（x0≠0）处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.（正确）1.19.一个定义在（-∞，+∞）上周期为2π的函数f（x）如果它在一个周期上可积，则一定可以作出f（x）的傅里叶级数.（正确）1.20.在三角函数系中，.（正确）2.选择题2.1.比较与的大小，其中积分区域D是由圆周所围成，则（C）选项A）I1=I2选项B）I1>I2选项C）I1≪I2选项D)无法比较解析：令，积分区域：此时：因因此：2.2.设区域D1:-1≤x≤1，-2≤y≤2；D2：0≤x≤1，0≤x≤
6、2.又，，则正确的是（C）选项A）I1>4I2选项B）I1<4I2选项C）I1=4I2选项D）I2=4I1解析：可得：I1=4I2另解1：观察积分区域范围大小，可知前者是后者的四倍，被奇函数相同，因此也可得出积分前者是后者的四倍.另解2：一般地，如果f(x，y)≥0，被积函数f(x，y)可以解释为曲顶柱体的顶在点(x，y)处的竖坐标，所以，二重积分的几何意义就是柱体的体积.根据上述二重积分的几何意义，令，变形后的等式在二维平面上表示圆，但在三维空间上则表示的是圆锥面.此时，由于D1:-1≤x≤1，-2≤y≤2；D2：0≤x≤1，0≤x≤2各自对应的圆锥的高相等，现求其底面积:2.3设区域D=
7、x,y
8、x2+y2≤1在第一象限部分，则（C）选项A）选项B）选项C）选项D）解析：可采用x型，或y型进行积分.也可转换成极坐标形式.2.4.设R＞0，f(x,y)连续，则0Rdx0R2-x2fx2+y2dy=(D)选项A）π0Rf（r2）rdr选项B）π20Rf（r2）dr选项C）2π0Rf（r2）dr选项D）π20Rf（r2）rdr解析：极坐标的转换2.5.（C）.其中，.选项A）选项B）选项C）选项D）
