浅析物理解题中的微分思想

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1、⋯⋯⋯一⋯⋯⋯⋯⋯中PHYSICSTEACHINGANDLEARNl崛浅析物理解题中的微分思想陈宏奎物理解题中运用的数学方法，通常包括几何图=÷删2一÷，形法(函数图象)、三角函数方程法、比例法、数列递推求和法、数学数列极限法与不等式及微积分法等。则克服空气阻力做功W'f=一=÷一÷。其中，微积分是新编中学数学教材中增加的内容。最近几年，以物理试题为载体渗透考查数学能力是高考命题的热点主题，特别是利用微分思想求解物理题在各地高考中频频出现，近几年更是“年年上榜”，所以，对此加以重视是必要的。mn0，解得n0=(1+)g。利用微分思想实现从部分到整体的分析

2、方法叫微元法。当物理学中遇到整体难以解决的复杂问题时，常运用微分概念合理选取微分元(将研究对象d，则一(，+)=，舳，Ⅱ=一g一m，取极短的一小进行无穷细分，其中的一份微小单元即微分元，如力学中的长度元dZ，体积元dV，质量元dm，电磁学中△=n△f=一g△￡一△￡。的电荷元dq，电流元d，等)，对微元模型运用相关的物理规律和数学方法处理，然后再对微元结果叠加而过渡到对整体的积分求解。微元法充分体现了数∑△=O一=一g∑At--ma_Ah，学微积分的基本思想和物理实质。许多学生只会数学上抽象的微积分运算，而面故=。+日，解得=。对具体的物理问题，不知如何

3、寻找微分元，进而无法用微积分来求解实际问题，造成物理解题时的障碍。一、微分思想在动力学问题中的应用例1从地面上以初速度％竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图1所示，t时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为．，且落地前球已经做匀速运动。求：}D围l阳的近c沿日点椭A圆离轨太道阳运的行距，銮它离“k。。一⋯⋯⋯‘B(I)球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；(2)球抛出瞬间的加速度大小；(3)球上升的最大高度日。解析(1)全过程对小球运用动能定理·49·史堡麴堂星丝2⋯PHYSICST

4、EAcHINGADLEARNINGINHIGHSCHOOL解析此题可根据万有引力提供行星的向心力环轴线上距圆心0点为处的P点的电场强度。求解(求解略)。也可根据开普勒第二定律，用微元解析带电圆环产生的电场不能看作点电荷产法求解。设行星在近日点时又向前运动了极短的生的电场，故采用微元法，利用求解点电荷形成的电时间At，由于时间极短可以认为行星在At时间内场的方法结合对称性求解。选电荷元Aq=RA0做匀速圆周运动，线速度为，半径为a，可以得到，它在P点产生的电场场强的分量为：1盯行星在At时间内扫过的面积：

5、s=Ata。厶△一~COS／X=k／fR(AOQ‘

6、r订I十，／R‘。同理，设行星在经过远日点时也运动了相同+1根据对称性：的极短时间微元At，则也有：s6：÷Atb。二E=∑△Ex-∑由开普勒第二定律(面积定律)可知：S=S。二订VL十，即得：=。生．7一生U21T(耐R+)(耐R+)’三、微分思想在求解机械功(机械功率)问题中在轴线上P点产生的场强方向是沿轴线的的应用方向。例3如图3所示，某个五、微分思想在电路问颗中的应用F=10N的力作用于半径R=例5如图5中甲图所示是一种测量电容的实1in的转盘的边缘上，力F的验电路图，实验是通过对高阻值电阻放电的方法测大小保持不变，但方向保持任出电容器充电至电压

7、时所带的电荷量口，从而再何时刻均与作用点的切线一求出待测电容器的电容c，某同学在一次实验时的致，则转动一周，这个力F做情况如下：的总功为多少?解析由于力F的方向与作用点的速度方向一致，因此力F做功肯定不为零，考虑到此力大小不变但不是恒力，无法用恒力做功公式直接求解。可以考虑把圆周划分为无限多“微元”来研究。把整个运动过程划分成很多个微元，整个过程中变力做功就等效于每个微元中恒力做功之和。当各小段的弧占田长As足够小(△5)时，在这As内，的方向几乎圈5与该小段的位移重合，则F做的总功为：a按图甲所示的电路图接好电路；W=F∑As=FAl+FAs2+FAs

8、3+．．·，b．接通开关s，调节电阻箱R的阻值，使小量程W=F·21TR=20,nJ。电流表的指针偏转接近满刻度，记下此时电流表的点评对整体无穷细分后隔离选择恰当的微元示数，0=490，电压表的示数=8．0V，／o、uo作为研究对象，微分元可以是一小段圆弧、一小块面分别是电容器放电时的初始电流和电压；积、一个小质量、一小段时间⋯⋯但微分元应该具备C．断开开关．s，同时开始计时，每隔5S或10S整体对象的基本特征，对微分元模型化，运用相关物测读一次电流i的值，将测得数据填人表格，并标示理规律结合微积分的知识可以很快捷地处理问题。在图乙的坐标纸上(时间t为横

9、坐标，电流为纵坐四、微分思想在静电．标)，结果如图中小黑点所示。场问题中的应用△