案例1辗转相除.ppt

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1、1.3算法案例1.3.1辗转相除法与更相减损法第一章算法初步35915[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？183023∴18和30的最大公约数是2×3=6.先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.[问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?1.辗转相除法:例1求两个正数8251和6105的最大公约数。分析：8251与6

2、105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.解：8251＝6105×1＋2146显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。例1求两个正数8251和6105的最大公约数。解：8251＝6105×1＋2146;6105＝2146×2＋1813;2146＝1813×1＋333;1813＝333×5＋148;333＝148×2＋37;148＝37×4＋0.则37为8251

3、与6105的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。1.辗转相除法:观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和181

4、3的最大公约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？1.辗转相除法:完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：给定两

5、个正整数m,nS2：用大数除以小数，计算m除以n所得的余数；S3：除数变成被除数，余数变成除数，即m=n,n=r；S4：重复S2,直到余数为0，即若r=0，则m,n的最大公约数为m，否则返回S2.辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结

6、构？r=mMODnm=nn=rr=0?是否开始输入两个正数m,n输出m,n结束INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.20723=4081×5+318;4081=318×12+265;318=265×1+53;265=53×5+0.(53)思考:你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？写出算法步骤、程序框图和程序。输入两个正数m,n否开始r=mMODnr≠0?输出n结束m=nn=r是INPUTm,nr=mMODnWHILEr<

7、>0m=nn=rr=mMODnWENDPRINTnEND算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。2.更相减损法——《九章算术》例3用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝3563－35＝2835－28

8、＝728－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98和63的最大公约数等于7练习3：分别用辗转相除法和更