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时间：2021-01-20
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1、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大的定义二、无穷小的性质三、无穷小阶的比较四、无穷大与无穷小的关系一、无穷小与无穷大的定义1.无穷小(infinitesimal)的定义简言之,极限为零的变量称为无穷小.定义1例如注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.简言之,绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义22.无穷大(infinity)的定义函数的极限是无穷大,注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.函数y无界.例1证函数y不是无穷大.例2解证例3例4证二、无穷小的性质1.无穷小与函数极限的关系证必要性定理1充
2、分性定理2有限个无穷小的和也是无穷小.证2.无穷小的运算定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.三、无穷小阶的比较实例问题:它们的商是什么?极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.为此,即有下面无穷小的阶的比较的定义.等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形.关于等价无穷小的定理定理1证必要性充分性证定理2四、无穷大与无穷小的关系证根据无穷大的定义,定理3(1)定理2的意义在于关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.关于定理2的说明:常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,
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