测量误差与数据处理(2).ppt

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1、测量误差与数据处理2014年1月第2章误差传播与最小二乘法原理方差与协方差传播律协方差：描述两个随机变量之间的误差相关关系。，x和y不相关，相互独立，误差不相关，x和y是相关的，不独立方差与协方差传播律随机向量及其协方差阵n维随机向量方差—协方差阵非对角线元素对角线元素方差与协方差传播律协方差传播律观测值线性函数的方差特例：当随机向量X中的各个分量两两相互独立时，它们之间的协方差为0，方差阵为对角阵，此时z的方差上式变为（2.13）方差与协方差传播律【例2.1】用长度为L的钢尺量距，连续丈量了N个尺段。已知每一尺段的距离都是独立观测值，且其中误差均为m，求全

2、长S的中误差。＊解：由于共丈量了N个尺段，故全长由（2.13）知，，即。呵，原来是这样啊！方差与协方差传播律【例2.2】设有观测值L1、L2和L3的函数已知其方差分别为，，两两之间的协方差分别为，，。求函数F的方差。＊解：由方差阵的定义知，观测值的方差阵为：F的矩阵形式函数F的方差方差与协方差传播律非线性函数的方差问题：已知变量x的方差和协方差，求函数的方差。核心：将非线性函数化为线性函数。方法：将函数在处展开为泰勒级数。令：则有：方差与协方差传播律非线性函数的方差函数的全微分或写成由于，x与dx具有相同的方差，因而z与dz方差相同。因此，对于非线性函数线性

3、化，也可以先列出函数式，然后对其求全微分。方差与协方差传播律【例2.3】设有观测向量，已知其方差阵为求的函数当L1=2，L2=3，L3=4时的方差。＊解：因函数F是个非线性函数，求其全微分方差与协方差传播律误差传播律在测量中的应用水准测量的精度已知每站高差测量中误差，求测段AB中误差A、B两点间的总高差：方差与协方差传播律水准测量的精度已知每千米高差测量中误差，求测段AB中误差设测段长为S,各测站距离s大致相等，则测站数N=S/s由于每千米高差中误差：于是有：因此：方差与协方差传播律【例2.4】水准测量中若要求每千米观测高差中误差不超过10mm，水准路线全长

4、高差中误差不超过60mm，则该水准路线长度不应超过多少千米？＊解：由公式因此有：该水准路线长度不应超过36千米。方差与协方差传播律导线方位角的精度导线测量示意图已知同精度角度观测中误差为，求第N条导线边方位中误差。方位角公式：方位角中误差：方差与协方差传播律同精度独立观测值的算术平均值的精度对某量同精度独立观测n次，其观测值为L1、L2、…Ln，它们的中误差均等于，求平均值的中误差。n次算术平均值：由方差-协方差传播公式，有：即有：方差与协方差传播律【例2.5】已知某台经纬仪一测回测角中误差为6"，如果要使各测回的平均值的中误差不超过2"，则至少应测多少测回

5、？＊解：由公式可得所以，至少应观测9个测回。第2章误差传播与最小二乘法原理权与定权的常用方法权的定义：设有观测值，它们的方差为设不等于零任意常数，则定义的权为式中的方差可以是同一个量的观测值的方差，也可以是不同量的观测值的方差，称为单位权中误差。权比：权与定权的常用方法单位权中误差从权的定义式上看，只起着一个比例常数的作用，而其值一经选定，它还有着具体的含义，可以理解为衡量误差大小的“单位误差标准”。凡是中误差等于的观测值，其权必然等于1；或者说，权为1的观测值的中误差必然等于。因此，通常称为单位权中误差，而称为单位权方差或方差因子，把权等于1的观测值，称为

6、单位权观测值。【例2.6】已知三个角度观测值的中误差分别为3″，4″和5″，试求各角的权。＊解:若取则有若取则有上例说明σ0取值不同，则各观测值的权不同，但权之间的比值不变，即权与定权的常用方法【例2.7】已知A角的中误差σA=2″，权PA=4，B角的权PB=16，试求单位权中误差σ0及B角的中误差σB。＊解:由权的定义式可得将σA、PA之值代入上式可解出又由权的定义式可得权与定权的常用方法水准测量定权已知同精度观测Ni个测站的水准高差hi的方差为：取C个测站的观测高差的方差为单位权方差，即按定权公式可得用测站数定权的公式用测站数定权（用于山地）权与定权的常

7、用方法已知每公里观测高差的方差相等时，Si公里观测高差的方差为取C公里观测高差的方差为单位权方差，即按定权公式可得用路线长度定权的公式：上式说明，当每公里观测高差等精度时，水准测量高差的权与距离成反比。用路线长度定权（用于平地）权与定权的常用方法权与定权的常用方法【例2.8】如下图，确定水准路线观测值的权。图2.3水准路线图＊假定每千米观测高差的中误差为则由各线路观测高差的中误差为：如令则有：权比：权与定权的常用方法下面按路线长度定权的公式定权：上式中令C=1，即取每千米高差中误差为单位权中误差，于是有：上式中令C=3，即取3千米高差中误差为单位权中误差，于

8、是有：权比：权比：权与定权的常用方法【例2.9】在平