资源描述：
《重积分的几何及物理应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节重积分的应用一、重积分的元素法二、重积分在几何上的应用四、小结三、重积分在物理上的应用1一、重积分的元素法把定积分的元素法推广到二重积分.1.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性,3.所求量的积分表达式为元素法也可推广到三重积分.2.在D内任取一个直径很小的闭区域部分量可近似地表示为称为所求量U的元素,相应的其中这个记为的形式,2(一)平面区域的面积设有平面区域D,(二)体积设曲面方程为则D上的曲顶柱体体积为:则其面积为:占有空间有界域的立体的体积为:二、重积分在几何上的应用31.设曲面S的方程为：如图,设
2、小区域则有母线平行于z轴的小柱面,在xOy面上的投影区域为Dxy,(三)曲面的面积求曲面S的面积.4曲面S的面积元素曲面S的面积公式5说明：6求球面内部的那部分面积.例含在圆柱体解由对称性知(A1为第一卦限图形的面积,如图)曲面方程于是,D1xy7D1xy面积极坐标8解例9oxyz(0,0,2a)解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为求由曲面所围立体的表面积.例1011小结：2.确定投影域Dxy.1.确定曲面单值函数z=f(x,y)3.曲面面积公式求曲面面积的步骤12作出图形在第一卦限的A1:则解部分练习所截
3、的部分的面积.被圆柱面计算圆柱面(如图).a13在第一卦限部分面积为整个面积a14(一)质(重)心质点系的总质量则该质点系的质心的坐标为它们分别位于质量分别为对y轴的静力矩设xOy平面上有n个质点,三、重积分在物理上的应用对x轴的静力矩15由元素法(1)平面薄片的质心16注所以,薄片的质心坐标为当薄片是均匀的,质心称为形心.D的面积.17例求位于两圆和的质心.利用对称性可知而之间均匀薄片解18(2).空间物体的重心说明：19一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为若炉内储有高为h的均质钢液,不计由对称性知质心在z轴上，故
4、炉体的自重,求它的质心.例解20质心为21设平面上有n个质点，它们分别位于处，质量分别为则该质点系绕x轴,y轴和原点O的转动惯量依次为(二)转动惯量由力学知，一个位于点(x,y)质量为m的质点P绕x轴,y轴和原点O的转动惯量分别为对于质点系22(1)平面薄片的转动惯量23解例设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.24例解由元素法25(2).空间物体的转动惯量2627由万有引力定律可知,一个位于点(x,y,z),质量(三)引力P0(x0,y0,z0)M=1mP(x,y,z
5、),为m的质点P,对另一个位于点(x0,y0,z0),单位质量的质点P0的引力大小为(其中k为引力常数)方向同向量28元素法设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为假定在D上连续,计算该平面薄片对位于z轴上的点处的单位质点的引力.将两质点的引力推广到平面薄片和空间立体上去,以平面薄片为例：2930(k为引力常数)薄片对z轴上单位质点的引力为31设有面密度为常量,半径为R的均匀圆的薄片求它对位于点易见处的单位质量质点的引力.例解极坐标所求引力为32(2).空间物体对质点的引力33解34四、小结
6、几何应用平面的面积曲面的面积体积质心物理应用转动惯量引力35作业习题8-4(111页)1(1)(3).2(1).3(1).4(1).5.6(2).7.8.
