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《《随机过程及其在金融领域中的应用》习题三答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章习题31、设A,B是相互独立且同服从N(0,s2)的随机变量，求随机过程的{Xt=At+B,tÎ}均值函数、自相关函数、协方差函数。答：均值函数：mXt=E(Xt)=E(At+B)=tE(A)+E(B)=0自相关函数：t2)ë()()ûR(12)=E(Xt11+BAt2t,tX=EéAt+Bù)(12)()ë12A2+(1+t2)û12()+E(++t=EétttAB+B2ù=ttEA2B2tEABA,B相互独立，E(AB)=E(A)E(B)=0又E(A2)=E(B2)=s2，R(t1,t2)=(t1t2+1)s2协方差函数：cX(t1,t2)=R(t1,t2)-E(Xt1)E(Xt
2、2)E(Xt)=0，cX(t1,t2)=R(t1,t2)=(t1t2+1)s22、设随机过程{Xt,tÎT}的均值函数为mxt，协方差函数为cX(t1,t2)。记随机过程Yt=Xt+j(t),tÎT，其中，j(t)是普通函数。（1）求Yt的均值函数和协方差函数；（2）如果j(t)=-mXt，证明RY(t1,t2)=cY(t1,t2)=cX(t1,t2)答：（1）mYt=E(Xt+j(t))=E(Xt)+j(t)=mXt+j(t)RY(t1,t2)=Eé(Xt+j(t1))(Xt2+j(t2))ù=EéXtXt2+Xtj(t2)+Xtj(t1)+j(t1)j(t2)ùë1ûë112û=RX(t
3、1,t2)+j(t2)mXt1+j(t1)mXt2+j(t1)j(t2)cY(t1,t2)=RY(t1,t2)-E(Yt1)E(Yt2)=RY(t1,t2)-éëmXt1+j(t1)ùûéëmXt2+j(t2)ùû（2）j(t)=-mXtj(t1)=-mXt1,j(t2)=-mXt2RY(t1,t2)=RX(t1,t2)+j(t2)mXt1+j(t1)mXt2+j(t1)j(t2)=RX(t1,t2)-mXt1mXt2=cX(t1,t2)cY(t1,t2)=RY(t1,t2)-éëmXt1+j(t1)ùûéëmXt2+j(t2)ùû=RX(t1,t2)-mXt1mXt2=cX(t1,t2)
4、RY(t1,t2)=cY(t1,t2)=cX(t1,t2)ì1,Xt£x，证明：3、已知随机过程{Xt,tÎT}，对任意实数x定义随机过程Yt=í>xî0,XtYt的均值函数和自相关函数分别是Xt的一维和二维分布函数。证明：{}1()设随机过程tx;t，二维分布函数为X,tÎT的一维分布函数为FF2(x1,x2;t1,t2)，固定t时，Yt是服从0-1分布的随机变量，其分布律为Yt01PkP{Xt>x}P{Xt£x}于是Yt的均值函数为mY=E(Yt)=0´P{Xt>x}+1´P{Xt£x}=P{Xt£x}=F1(x;t)t又随机变量Yt和Yt的联合分布律为12Yt2Yt0110P{Xt1>x
5、,Xt2>x}P{Xt1£x,Xt2>x}1P{Xt1>x,Xt2£x}P{Xt1£x,Xt2£x}RY(t1,t2)=E(Yt1Yt2)=0´0´P{Xt1>x,Xt2>x}+0´1´P{Xt1>x,Xt2£x}+1´0´P{Xt1£x,Xt2>x}+1´1´P{Xt1£x,Xt2£x}=P{Xt1£x,Xt2£x}=F2(x1,x2;t1,t2)4、设{Xt,t³a}是齐次独立增量过程，且Xa=0，方差函数为sX2t，记随机过程Yt=kXt+c,k,c是常数,k¹0。（1）证明Yt是齐次独立增量随机过程；（2）求Yt的方差函数与协方差函数。答：（1）证明：Yt=kXt+c,k,c是常数,k
6、¹0Yt+t-Yt=(kXt+t+c)-(kXt+c)=k(Xt+t-Xt){Xt,t³a}是齐次独立增量过程，增量Xt+t-Xt的概率分布只依赖于t而与t无关增量Yt+t-Yt的概率分布也只依赖于t而与t无关Yt是齐次独立增量随机过程。（2）由题意知：Xt的方差函数为sX2t，即D(Xt)=sX2tD(Yt)=D(kXt+c)=k2D(Xt)=k2sX2t则Yt的方差函数为k2sX2t。cY(t1,t2)=cov(Yt1,Yt2)=cov(kXt1+c,kXt2+c)=k2cov(Xt1,Xt2)=k2cX(t1,t2)Xt是齐次独立增量过程，当Xa=0时有cX(t1,t2)=DX(m
7、in(t1,t2))=sX2min(t1,t2)cY(t1,t2)=k2cX(t1,t2)=k2sX2min(t1,t2)则Yt的协方差函数为k2sX2min(t1,t2)。5、（1）设通过某路口的车辆数符合强度为l的泊松过程，已知1分钟内无车辆通过的概率为0.2，试求2分钟内有多于1辆车通过的概率。（2）设乘客到达某汽车站的乘客数为一泊松过程，平均每10分钟到达5位乘客，试求在20分钟内到达汽
