《随机过程及其在金融领域中的应用》习题七答案.docx

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1、第七章习题71、设{X(t),t³0}为Brown运动过程，令Y(t)=tX(1t)（1）Y(t)的分布是什么？（2）计算Cov(Y(s),Y(t))。（3）试证{Y(t),t³0}也是Brown运动。（4）令T=inf{t>0:X(t)=0}，利用（3）给出P(T=0)=1的证明。答：（1）Y(t)是正态分布。{X(t),t³0}为Brown运动过程，则X(0)=0;X(t)N(0,c2t)，且{X(t),t³0}有平稳独立增量。则{Y(t)=tX(1t),t³0}也有平稳独立增量，Y(0)=0,X(1

2、t)=0;X(1t)æc2öNç0,÷tèø(Y())=E(())=tE(())=0EttX1tX1tVar(Yt))=Var(tX1t))=t2Var(X1t))=t2c2=c2t(((t则Y(t)N(0,c2t)，所以Y(t)是正态分布。（2）()())()()ûë()ûë()û()()û(Y,YsëYëYcovt=EéYtsù-EéYtùEéYsù=EéYtsù当t³s时ë()()ûë()(()-Y())+Y2()ûEéYtYsù=EéYtYsttù=E{éY(s)-Y(t)ùéY(t)-Y(0)ù

3、}+EéY2(t)ù=c2tëûëûëû当t

4、。（4）令S=sup{t>0:Y(t)=0}，易知Y(t)在任意t时刻都可能为0，则S为无穷大，即tX(1t)=0,X(1t)=0。由此可知Y(t)=0的上界就是求X(t)=0的下界limX(1t)=X(0)=0，则下界T必为0，即P(T=0)=1t®+¥2、设X(t)同上，令W(t)=X(aa2t)(a>0)，验证{W(t),t³0}也是Brown运动。证明：由X(t)为Brown运动，对于任意t大于等于0，X(t)N(0,c2t),X(a2t)N(0,c2a4t),W(t)=X(a2t)N(0,c2a

5、2t)a因为X(t)有平稳独立增量，所以W(t)-W(s)N(0,(ca)2(t-s))又W(0)=0，所以{W(t),t³0}也是Brown运动。3、设X(t)同上，计算给定X(t1)=A,X(t2)=B时X(s)的条件分布，其中t1

6、-s)1-(B-A)22t-te(21)2p(t2-t1)-(B-A)2ì22ü(t-t)(x-A)(B-x)22t-tïï=1e(21)expí--ý2p(s-t1)(t2-s)2(s-t1)2(t2-s)ïïï(x-A)(B-x)îþïì22ü=K1expí--ý2(s-t1)2(t2-s)ïïîþ(B-A)2(t2-t1)-2(t2-t1)将其看作常数项K][2p(s-t1)(t2-s)e1ìés-tù2üï(t2-t1)êx-A-(B-A)1úïïët2-t1ûï=K2expí-ý*2(s-t1)

7、(t2-s)ïïïïîþ(B-A)(s-t1)êés-t1-(B-A)úù[Keët-tû将其看作常数项K]2121其中K1,K2为化简后的常系数。从上述*可以看出条件分布满足正态分布从*式也可看出E=A+(B-A)s-t1t2-t1s2=(s-t1)(t2-s)t2-t1即：E(X(s)X(t1)=A,X(t2)=B)=A+(B-A)s-t1t2-t1Var(X(s)X(t1)=A,X(t2)=B)=(s-t1)(t2-s)t2-t1{(),t³}是标准Brown运动，求下列过程的协方差函数：4、设Bt

8、0（1）B(t)+æt（2）aBçèa2答：（1）()相互独立，且X()Xt,X与BtN0,1；ö÷，（a>0为常数）。øcov((B(t)+Xt),(B(s)+Xs))=Eé(B(t)+Xt)(B(s)+Xs)ù-EéB(t)+XtùEéB(s)+Xsùëûëûëû=Eé(B(t)+Xt)(B(s)+Xs)ù=EéB(t)B(s)ù+E(X2st)ëûëû=EéB(t)B(s)ù+stE(X2)=min{t,s}+stëû