(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法 .doc

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1、求数列通项公式的方法一、公式法n例1已知数列{an}满足an12an32，a12，求数列{an}的通项公式。nn1aa3an1an3an解：a2a32两边除以2，得n1n，则，故数列{}是n1nn12n22n1nn2222a123an3以11为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得1(n1)，2n222231(n)2n。所以数列{an}的通项公式为an22an1an3n评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an32转化为，说明数列n1n222ana3{}nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出n1(n1)，进而求出数列222{an}的通项公式。二、累加法例2已知

2、数列{an}满足an1an2n1，a1（1），求数列{的通项公式。an}解：由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n•(n•L21](n1)1(n1)n2(n1)12(n1)(n1)12n2所以数列{an}的通项公式为ann。评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1，进而求出(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。例3已知数列{a}满足an1an（2）1，a13，求数列{an}的通

3、项公式。n3nnn解：由an1an231得an1an231则an(anan1)(an1an2)L(aa2(aa1)an1n23)21(231)(231)L23(31)(21n1n221(1312(33L33)23)n1n)3(13)2(n1)313n33n13n3n1所以a3nnn1.nn评注：本题解题的关键是把递推关系式aa231)转231，n1n化为an1an进而求出an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。例4已知数列{a}满足an13an2)3n1，a13)，求数列{an}的通项公式。nnn1an1an21解：a3an231两

4、边除以3，得nn1，n1n13333an1an21则n1n，故33n133ananan1an1an2an2an3a2a1a13n(3na)(a3n2)(n2n3)L(3231)333n1n1212121213()()()L()n1n233n333333232(n1)11111(L)1n1n2233n3n333xn1(13)an2n11因此n2(n1)31n，n33133223yn3n1n1则a3.n322nan1an21评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an231转化为nn1，n13333anan1an1an2an2an3a2a1a1an进而求出()()()L()，即得数列nn

5、1n1n2n2n321n3333333333的通项公式，最后再求数列{a}的通项公式。n三、累乘法例5已知数列{a}满足a2(n1)5nan，a3，求数列{a}的通项公式。nn11nnan1n解：因为a2(n1)5a，a3，所以a0，则2(n4)5，故n1n1nananan1a3a2anLa1an1an2a2a1[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]3n1(n1)(n2)L212[n(n•L32]53n(n1)32n152n!n(n1)n12所以数列{an}的通项公式为an325n!.4)an1n评注：本题解题的关键是把递推关系an12(nn

6、an转化为2(n1)5，进而求5ananan1a3a2出La1，即得数列{an}的通项公式。an1an2a2a1例6已知数列{an}满足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n5)，求{an}的通项公式。解：因为ana12a23a3L(n1)an1(n2)①所以an1a12a23a3L(n1)an1nan②用②式－①式得an1annan.则an1(n1)an(n2)an1故n1(n2)ana3n!所以aanan1La[n(nL43]aa.③n2x22an1an2a22由ana12a23a3L(n1)an1(n，取n2得a2a12a2，则a2a1，又知yn!a11，则a21，代入

7、③得an1345Ln。2n!所以，{an}的通项公式为an.2an1评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为n1(n2)，ananan1a3进而求出La2，从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的an1an2a2通项公式。四、待定系数法例7已知数列{a}满足a2an35n，a6，求数列an的通项公式。nn11n1n解：设an1x52(anx5)④nnn1n将a12an35代入④式，得2an35x52an