第十章-凯恩方程ppt课件.ppt

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1、第十章凯恩方程东北大学理学院应用力学研究所李永强1第十章凯恩方程§10.1偏速度和偏角速度§10.2凯恩方程1.同Appell思路一样构造独立的速度变量(伪速度)代替不独立的速度变量；2.引入偏速度(partialvelocity)，偏角速度(partialangularvelocity),广义主动力(Generalizedactiveforces),广义惯性力(Generalizedinertiaforces),运动方程由形式简单的广义主动力，广义惯性力表示3.广义主动力，广义惯性力便于计算机计算，步骤程序化2§10.1偏速度和偏角速度具有n个质点的非完整系统，受

2、到d个完整约束和g个非完整约束，则系统的独立的坐标变分数（即系统的自由度）为:f=3n-d-g系统中每一个质点Mi的矢径可用广义坐标表示，即则质点的速度令，，则上式可写成:式中和通常是广义坐标qj和时间t的函数。3§10.1偏速度和偏角速度对于刚体系统，类似地可对第i个刚体的瞬时角速度表示为:式中和通常是广义坐标qj和时间t的函数。根据伪速度的定义，系统的广义速度可以用f个独立的伪速度表示为则其中称为质点系中第i个质点相对于第γ个独立的速度变量的偏速度。和一般为广义坐标qj和时间t的函数。4§10.1偏速度和偏角速度类似可得式中称为刚体系中第i个刚体相对于第γ个独立

3、的速度变量的偏角速度。和一般为广义坐标qj和时间t的函数。对于完整系统，由于广义速度(j=1,2,…,k)彼此独立，因此可以取伪速度为广义速度，即(γ=j=1,2,…,k)，则相对独立广义速度的偏速度5§10.1偏速度和偏角速度注意：偏速度和偏角速度是关于广义坐标qj和时间t的矢量函数，是相对于独立速度而言的，这里的独立速度可以是独立的广义速度，也可以是预先选定的的独立的伪速度。由于独立速度变量的选取不是唯一的，因此对于同一质点或刚体可以有不同形式的偏速度和偏角速度。但是对于质点系中每一个质点Mi和刚体系中每一个刚体Di，都分别有与系统自由度数相同数目的偏速度和偏角

4、速度。因此，在讲偏速度和偏角速度时，必须指明是哪个质点或刚体相对应哪个独立速度的偏速度或偏角速度。6§10.1偏速度和偏角速度例10-1设一质点A在Oxy平面内沿固定的抛物线轨道运动，轨道方程为，其中a为常数，求偏速度。解：该系统为单自由度完整系统。质点A的速度投影应满足限制条件现取y为独立广义坐标，则为独立广义速度，质点A的速度可表示为相对于独立速度的偏速度为7§10.1偏速度和偏角速度例10-2求图示双摆系统的偏速度。解：取1和2为独立广义坐标，则和均为独立速度。作单位矢量和分别垂直于OA和AB。则质点A和B的速度可分别表示为:可见，质点A对于和的偏速度分别

5、为:而质点B的两个偏速度分别是:8§10.1偏速度和偏角速度考虑到和则可将和用表示为:因而，点A和点B对于独立速度和的偏角速度成为:9§10.1偏速度和偏角速度例10-3行星齿轮Ⅱ半径为r，由连杆OA带动沿固定的的大齿轮Ⅰ滚动。轮Ⅰ的半径为R。试求偏速度与偏角速度。解：系统为单自由度完整系统，选连杆的转角为广义坐标，则点A的速度可写成式中的矢量系数就是点A对于的偏速度，即其中l=R+r。以表示连杆OA的角速度，有故连杆对于的偏角速度为10§10.1偏速度和偏角速度令行星齿轮Ⅱ的角速度为，则于是齿轮Ⅱ的角速度矢可写为:故齿轮Ⅱ对于的偏角速度为:11§10.1偏速度和

6、偏角速度例10-4杆长为2l的直杆AB作平面运动，假设其一端A的速度始终指向另一端B，试写出其中点C的偏速度。解：取xA,yA和θ为广义坐标，其约束方程为:是一非完整约束，故系统为两个自由度。C点的速度为:若取12§10.1偏速度和偏角速度则C点的偏速度:注意到:可以取为伪速度，若取则有可见伪速度的选择不是惟一的，偏速度将因伪速度的选择不同而有不同的形式。13§10.2凯恩方程凯恩方程广义主动力和广义惯性力的计算14§10.2凯恩方程凯恩方程从动力学普遍方程出发导出凯恩方程设有n个质点组成的质点系，具有f个自由度。选取f个伪速度(γ=1,2,…,f)，使系统中每一质

7、点的速度用伪速度表示，即由此得:相对于伪速度，引入伪坐标，则第i个质点的虚位移可以用独立的伪坐标的变分来表示，即15§10.2凯恩方程凯恩方程将上式代入动力学普遍方程，得:变换求和次序，得:令则由于δπγ是彼此独立的，于是有凯恩方程式中和分别称为系统对应于第γ个独立速度的广义主动力和广义惯性力。16§10.2凯恩方程凯恩方程将这f个方程与g个非完整约束方程联立求解，则可得到f+g个关于广义坐标qj(t)的方程组，求其解即可确定系统的运动规律。由此可见，利用凯恩方法建立系统的动力学方程，关键是计算系统的广义主动力和广义惯性力。凯恩方程17§10.2凯恩方程广义主动