清华大学(第5版)数值分析第3章函数逼近ppt课件.ppt

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1、第三章函数逼近13.1函数逼近的基本知识函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数误差为最小，即距离为最小（不同的度量意义）第三章第一节对同一个被逼近函数，不同度量意义下的逼近，逼近函数是不同的.2通常叫做数量乘法。341，向量空间几种线性空间2，多项式空间3，连续函数空间4，55范数例如6赋范线性空间7内积内积空间Cauchy-Schwarz不等式8例如1293内积导出的范数10定义1：设定义在有限或无限区间[a,b]上,如果满足:(1)对任取(2)则称其为区间[a,b]上的权函数.(3)[a,b]非

2、负连续函数11定义2如果函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,满足则称f(x)与g(x)在[a,b]上关于权正交,如果[a,b]上的连续函数系满足定义1：设f(x),g(x)关于权的内积，记为(f,g).3.2正交多项式12称其是[a,b]上关于权的正交函数系.上述是正交化过程13(1)它们是次数不超过n的多项式。142常见的正交多项式系（1）勒让德多项式性质：①正交性.{Pn(x)}在[-1,1]上是正交多项式系,且151617②三项递推关系18④对零的平方误差最小③零点n次的在(-1,1)内有

3、n个互异实零点.19定义1Chebyshev多项式称Tn(x)=cos(narccosx),

4、x

5、≤1为n次Chebyshev多项式Chebyshev多项式及其性质20Chebyshev多项式的性质性质1n次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系：T0(x)=1,T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,….21性质2n次Chebyshev多项式Tn(x)的首项系数为22性质3正交性。{Tn(x)}在[-1,1]上是关于权(1-x2)-1/2正交多项式系,且23性

6、质4性质5当时，交错取到极大值1和极小值1，即零点：Tn(x)在[-1,1]内有n个互异实零点:24显然是首项系数为1的n次Chebyshev多项式.又若记为一切定义在［－１，１］上首项系数为1的n次多项式的集合25函数逼近问题举例对被逼近函数f(x)=sqrt(x）,在区间［０，１］上按如下三种不同的逼近方式求其形如p1(x)=ax+b的逼近函数.26解（1)按插值法，以x0＝0,x1＝１为插值节点对f(x)作一次插值所得形如(1)式的p1(x)是p1(x)=x.②按下列的距离定义dis(f(x

7、),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max

8、f(x)-p1(x)

9、的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的p1(x)是p１(x)=x+1/8.③按距离dis(f(x),p１(x))=‖f(x)-p1(x)‖２=(∫01[f(x)-p１(x)２dx)1/2的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的p１(x)是p１(x)=4/5x+4/1527可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的.28最佳一致逼近多项式在意义下，使

10、得最小。偏差在Pn［a,b］中，是否存在一个元素pn(x)，使不等式‖f(x)-p*n(x)‖∞≤‖f(x)-pn(x)‖∞(1)对任意的pn(x)∈Pn［a,b］成立?29一、最佳逼近多项式的存在性定理对任意的f(x)∈C［a,b］，在Pn［a,b］中都存在对f(x)的最佳一致逼近元，记为p*n(x)，即成立.最小偏差。30定义(交错点组)若函数f(x)在其定义域的某一区间［a,b］上存在n个点{xk}nk=1，使得①

11、f(xk)

12、=max

13、f(x)

14、=‖f(x)‖∞，k=1，2，…，n;②-f(x

15、k)=f(xk+1)，k=1,2,…，n-1,则称点集{xk}nk=1为函数f(x)在区间［a,b］上的一个交错点组，点xk称为交错点组的点.二最佳一致逼近多项式的充要条件31定理(Chebyshev定理）pn*(x)∈Pn［a,b］为对f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近多项式的充要条件是误差曲线函数f(x)-pn*(x)在区间［a,b］上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组.即存在点集ax1<…

16、点组成的交错点组，但pn(x)不是最佳一致逼近多项式.不妨设Hn［a,b］中的多项式qn(x)为最佳一致逼近多项式，即‖f(x)-qn(x)‖∞<‖f(x)-pn(x)‖∞.(4)令Q(x)=pn(x)-qn(x)=〔f(x)-qn(x)〕-〔f(x)-pn(x)〕记{x1*,x2*,…,xn+2*}为误差曲线函数f(x)-pn(x)在［a,b］上的交错点组，33由(4)式可知n次多项式Q(x)在点集{x1*,x2*,…,xn+2*}上的符号完全由f(x