第5讲角含半角模型(解析版).doc

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1、中考数学几何模型5：角含半角模型TH名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE

2、=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（2）（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角

3、互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　4　．【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴

4、△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝4，故答案为：4．变式练习>>>1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（　　）A．B．C．D．【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，

5、∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∴四边形ADCF是正方形，∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，∴△AFG≌△ADE，∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，

6、∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．例题2.在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）【解答】解：（1）∵BD是正方形

7、ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，（2）①依题意补全图形，如图1所示，②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2＝MN2，将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠FBM＝∠FBA+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2＝FM2，∵旋转△ANE得到AB1E