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1、.八上培优5半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页1~4题1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜
2、，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．3.如图，∠A=∠B=90°,CA=CB=4,∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3,BF=2,求五边形ABCDE的面积...4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将△AEF
3、绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．..勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB= AC,∠BAC=90°， ∠ MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN
4、在∠BAC内部时，求证：BM+CN =MN;证明:延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG=,∠NAC.L∵∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=45°=L∠MAN,证△AMN≌△AMG(SAS),'∴MN=MG=BM+BG=BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略...基本模型二
5、120°套60°2.如图，△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°，求证:DE=BE证明:(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF≌△CAD，△CED≌△CEF,.DE-AD=EF-BF=BE.3.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°，点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°，求证:AD+DE=BE.证明:(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF，易证△CBF≌△CAD，△CED≌ACEF,DE=EF,
6、AD+DE=BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角，∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,试求△AMN的周长...分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,△AMN的周长AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,证三角
7、形全等解决.新观察培优68页例5如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧,C在y轴正半轴上,OC平分∠ACB.(1)求A点坐标;(2)如图1,AQ在∠CAB内部，P是AQ上一点，满足∠ACB=∠AQB,AP=BQ.试判断△CPQ的形状，并予以证明;(3)如图2.BD⊥BC交y轴负半轴于D.∠BDO=60°,F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足∠CFD+∠E=180°.当F在AC上移动时，结论:①CE+CF值不变;②CE-CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.分析:(1
8、)由∠A0C≌△BOC得AO=BO=2,A(-2,0).(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°，可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA⊥AC,连结DA,加上条件∠CFD+∠E=180°，可证得△ADF△BDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.基本模型三2°套°..4.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=∠BAD,求证:EF=BE+DF;(2)如图2,在
