华南理工大学高等数学统考试卷下08期中.docx

《华南理工大学高等数学统考试卷下08期中.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2008-2009高等数学下册期中考试试卷(考试时间：90分钟)姓名：班级：成绩单号：一、填空题（54）1、[5分]求函数zx2y2在点0,0处沿方向1,0的方向导数解：由定义zx2y201liml02、[5分]求函数uxxyxyz在点M1,0,3的梯度解graduM1yyz,xxz,xy1,0,31,4,03、[5分]求曲面xyyzzx1在点3,1,2处的切平面方程和法线方程解令Fx,y,zxyyzzx1，则nyz,xz,yx3,1,21,5,2从而切平面方程为x35y12z20，即x5y2z20法线方程为x3y1z2522x424、[5分]交换积分次序dxfx,ydyd

2、xfx,ydy1x2x1x2,D2:2x4解积分区域为两个小区域之并D1:xyxxy2作图得知合并后的区域也可表示为D1D2:1y2yxy22x422y2从而dxfx,ydydxfx,ydydyfx,ydx1x2x1y二、（8分）设zfxy,xy,xy，其中具有二阶连续偏导数，求2zdz与xy解dzf1dxdyf2dxdyf3ydxxdyf1f2yf3dxf1f2xf3dy从而zf1f2yf3，2zf1f2yf3f111f121f13xxxyyf211f221f23xf3yf311f321f33xf3f11f22xyf33xyf13xyf23三、（8分）设f(s,t)具

3、有连续的偏导数，且f(s,t)0，方程f(y,z)xx0确定了z是x,y的函数，试求xzyzxyxdyydxxdzzdxyf1zf2dxxf1dy解：f1f20，解出dzx2x2xf2从而xzyzzxy四、[8分]求抛物面zx2y2与平面xy2z20之间的最短距离解：设点Mxy2z2x,y,z在抛物面上，则其到平面的距离为d6先求fx,y,z6d222y2z0下的最小值点：xy2z2在x令Lxy2z222y2zxLx2xy2z22x0,Ly2xy2z22y0则由x2y2，Lz4xy2z20,Lz01111121276得最小值点，从而最短距离为

4、dmin448,,862444xyb0在平面上，而平面与曲面zx2y2相五、[8分]设直线L:xayz30切于点1,2,5，求a,b之值。解：由曲面得切平面法向量2x,2y,11,2,52,4,1从而有切平面方程为2x4yz50由直线L:xyb0得：yxb,xbyzb3xayz30(a1)yzb31a1从而由该直线必平行于平面知sn241a0,a5；在由该直线上的点要在平面上得2b403b50,b2六、[8分]计算xydxdy，其中Dx,yx2y2112,xyD解令ux1,vy1，得xu1,yv1,dxdyJdudvdudvDuvu,vu2v22,uvr,0r2,54452

5、从而xydxdyuvdudv4drcosrsinrdrDDuv40525r328r2drsin4cossindcos4404303七、[8分]计算二重积分yx21dxdy，其中D:0x2,0y2D解：用yx21将区域划分为两个D1:0x1,x21y2,D2DD1yx21dxdyyx21dxdyx21ydxdyDD1D2x2x212x22y1dxdy1ydxdy2dxy1dyD1D0x21221y222y22dxx21ydy2x21ydxx21ydx0002x210201224x22x211x2dx2x212dx10012x52x312x3288421dx2dxx2x2x53

6、x3150000八、[8分]计算Ix2y2dv，其中为平面曲线y22z绕z轴旋转一周x0的曲面与平面z8所围的区域。解：由交线x2y22z知在xoy面上的投影域为D:x2y216z82481024用柱坐标计算Idr2rdrdz00r232九、[8分]设由曲面zx2y2与z2x2y2所围成的立体中每点的密度与该点到xOy平面距离成正比，试求该立体的质量Mzx2y2知立体在xOy面上的投影域为D:x2y21解：由交线2x2zy2212r用柱坐标计算Izdvdrdrzdz00r2十、求曲面zx2y2被柱面x2y2axa解：zxx,zyyy2,dS1zx2x2y2x222从而该面积

7、=2dxdy2a24x2y2ax十一、[8分]计算积分xyz2dv，其中围成的空间闭区域。解：由zx2y2,z2120,z1，x2y2z22340所截下的有限曲面片的面积。z2ydxdy2dxdya2是zx2y2和x2y2z22所从而在xOy上投影域为x2y21，且关于坐标平面xOz,yOz都对称，2212r2因此x2y2z2dvdrdrr2z2dzxyzdv00r2212r22r222r2r41r6rdr12t222t22tt21t3dt03330333102322tt21t3dt452t22t233154