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1、物理专题汇编万有引力定律的应用(一)一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G．求：(1)地球的密度；(2)地球的第一宇宙速度v；(3)天“宫一号”距离地球表面的高度．【答案】(1)3g(2)vgR(3)h3gT2R2R4GR42【解析】（1）在地球表面重力与万
2、有引力相等：Mmmg，GR2MM地球密度：V4R33解得：3g4GR（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，mgmv2RvgR（3）天宫一号的轨道半径rRh，Mmh42据万有引力提供圆周运动向心力有：G2mR2，RhT解得：h3gT2R2R242．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0．①若在北极上空高
3、出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就h=1．0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式．（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1．0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？23【答案】（1）①0.98，②F214R2F0GMT（2）“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同【解析】试题分析：（1）根据万有引力等于重力得出比值的表达式，并
4、求出具体的数值．在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值的表达式（2）根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，从而进行判断．解：（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是①②由公式①②可以得出：=0.98．③由①和③可得：（2）根据万有引力定律，有又因为，解得从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变．答：（1）=0.98．比值（2）地球公转周期不变．仍然为1年．【点评】解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个
5、分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．3．如图所示,P、Q为某地区水平地面上的两点,在P点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”为.了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于
6、地球半径),PQx,求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常;(2)若在水平地面上半径为L的范围内发现:重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.GVd(2)VL2k.【答案】(1)x2)3/2G(k2/31)(d2【解析】【详解】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,GMmmg①r2式中m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形
7、区域的质量.M=ρV②而r是球形空腔中心O至Q点的距离r=d2x2③ΔgQ点处重力加速度改变的大小Q点处重力加在数值上等于由于存在球形空腔所引起的?速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常g是′这一改变在竖直方向上的投影dg′=g④rGVd联立①②③④式得g′=22)3/2⑤(dx(2)由⑤式得,重力加速度反常g的′最大值和最小值分别为GV(gmax′)=⑥d2(gmin′)=GVd⑦223/2(dL)由题设有(g′)max=kδ,(ming=′)δ⑧联立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为dLVL2k.k2/3(k2/31G1)4．探索浩瀚宇宙，
8、发展航天事
