二次函数知识点总结(整理版).doc

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1、二次函数知识点总结1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。二次项系数2.二次函数的基本形式①二次函数最基本的形式：的性质：★a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．②的性质：是经上下移动得到（即竖直在y轴方向移动）：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，

2、随的增大而增大；时，有最大值．③的性质：是经左右移动得到（即水平在x轴方向移动）：左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．④的性质：3.关于平移“左加右减，上加下减”顶点（）顶点（）顶点（）顶点（）4.二次函数顶点式与一般式的区别

3、与联系:区别：与是两种不同的表达形式；★联系：将一般式转化成顶点式；其中顶点坐标可求．5.二次函数图象画法：先定对称轴；再定开口方向；最后上下移动；★做题必须求出的4个点：①顶点②与轴的交点；（即当x=0时，求得y=c）③与轴的交点，（即当y=0时，求得）6.的性质:①当时，开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．②当时，开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．7.二次函数解析式的表示方法:1.一般式：（，，为

4、常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.★怎样设二次函数解析式：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．1.已知抛物线上普通的3点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，因为抛物线的对称性，故常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物

5、线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.8、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数：二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．★决定了开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2.一次项系数：在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线

6、对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反．3.常数项：抛物线与轴的交点⑴当时，与轴交于轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，与轴交于原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，与轴交于轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．★总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．9.二次函数与一元二次方程：★一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数如下：抛物线与轴有两个交点一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点一元二次方程有两个相等的

7、实数根抛物线与轴无交点一元二次方程无实数根.①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根：★．★A、B两点间的距离.②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．★抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；▲▲▲解题思路总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中

8、，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：（6）关于轴对称：关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到