AHP(层次分析法)示例说明.doc

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1、.AHP（层次分析法）示例说明(TheAnalgticHierarachyProcessAHP)一.AHP预备知识为了更好地理解AHP，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。1.1特征根与特征向量..设Aaijmn为n阶方阵，若存在常数和非零n维向量g(g1,g2,,gn)，使得..Agg(1)..则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A关于特征根的特征向量。1.1特征根的求法..由(1)得Agg0AEg0，这是一个n元一次线性齐次方程组，该方程组如果..有非零解，则其充分必要条件为：系

2、数行列式为零，即AE0(2)..称(2)式为矩阵A的特征方程，它是一个一元n次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n个根。1.2重量模型..设u1,u2,,un为n个物体，重量分别是g1,g2,,gn。但是，我们并不知道物体的重量，只..知两两之间重量比的比值：设准则C为比较重量，问题是：aijgigj..已知aij(1i,jn)，在准则C下对元素u1,u2,,un排序，也就是按其重量大小排序已知。..g1g1g1g2g1gng2g2g2aijnmg1g2gngngngng1g2gnA对于以下三个特性：（1）ai

3、j0..（2）aij1aji（3）aijajkaik....aij显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难），..满足（1）、（2）的矩阵A为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A，在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。....如果，aij令gi是，gi，gj是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即A是一致性判断矩阵。gj..Tgg1g2gn则带入计算，Agng。显见n是方阵A的特征根，g是A的与n对应的特征向量；事实

4、上此时不难验证：n是方阵A=(aij)的最大特征根，其余n-1个特征根全为零，而g是A的与最大特..征根n对应的特征向量。（证明见附录）g的n个分量是物体的相对重量，因此，可按此对排序。u1,u2,,un..如果对矩阵A有一个小的扰动，即aij不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，..此时A的最大特征根max不再是n；因扰动很小，自然max离n不远，这时max对应的特征向量虽..然不会是n个物体的真实重量gg1,g2,,gnT，但是，变动也不会太大。我们设想：如果扰动..不大，则max离n就不远，此时max对应的特

5、征向量g与g差不多，如果g不改变g的各分量的..大小次序，则g同样给出n个物体u1,u2,,un按重量大小的真实排序。....这样，对不满足一致性的正互反矩阵A(aij)nn，我们求其最大特征根max，再求与max对..应的特征向量g，则可按g对n个物体u1,u2,,un按重量大小排序。但是，这一番理论有几个疑点：①当A不满足一致性时，A还有没有最大正的特征根；②既使A有最大特征根，那么，这个最大特征根max对应的特征向量的全部分量能否还是正数（重量不可能为负数）？这两个问题可以用矩阵代数中Perro—Frobineus定理回答。P

6、erro-Frobineus定理：正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。（证明见itac的ecmp平台文档库中Proof_Of_PF_Theorem.pdf）Perron定理明白地告诉我们，对正互反矩阵A，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是惟一的。但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会

7、改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根max=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？这个问题太难了，人们简直难于正面明确地回答，而只能给出一个并不是十分令人满意的..简接回答。那就是对判断矩阵Aaij的一致性满意程度进行检验：..我们说过，由于对A不大的扰动，最大特征根离n不应太远，所以一致性检验自然与n有关。我们可以证明：只要A的一致性不被满足，那么A的最大特征根max一定比n大，即max–n>0。（对于正互反矩阵最大特征根随扰动的变大而变大的证明没有找到，忘补充）..C.I.令maxnn1....显然，我们希望C.I.尽量小；

8、但是，C.I.小到什么程度，才能使max与n对应的特征向量“归..一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回..答这个问题。为此，AHP发明者Saa