两个平面的位置关系教学内容.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流三．两个平面的位置关系知识提要1.空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系．2.(1)定义如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行．(2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．3.(1)定义如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．(2)判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(3)性质(1)如果两个平面互相垂直，那么在一

2、个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．(2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线，也垂直于交线．4.二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．5.二面角的平面角以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900时称直二面角。6.作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法

3、，垂面法．把平面角放入相关三角形中求解．课前练习1．α、β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它．解析：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n（或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β）证明如下：过不在α、β内的任一点P，作PM∥m，PN∥n，过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ．，同理PN⊥NQ．因此∠MPN＋∠MQN=180°，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好文档

4、，推荐学习交流故∠MQN=90°∠MPN=90°即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n2．自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补．　　证明：如图PQ⊥b，PQ⊥AB，　　PR⊥a，PR⊥AB，　　则AB⊥面PQR．　　经PQR的平面交a、b于SR、SQ，　　那么AB⊥SR，AB⊥SQ．　　∠QSR就是二面角的平面角．　　因四边形SRPQ中，∠PQS＝∠PRS＝90°，　　因此∠P＋∠QSR＝180°．3．在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P

5、点到直线a的距离．解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA⊥M，A是垂足，PB⊥N，B是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面α，设α∩M=AC，α∩N=BC，C∈a．由于PA⊥M，则PA⊥a，同理PB⊥a，因此a⊥平面α，得a⊥PC．这样，∠ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形A

6、CBP内，利用平面几何的知识在△PAB中求出AB，再在△ABC仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好文档，推荐学习交流中利用正弦定理求外接圆直径2R＝，即为P点到直线a的距离，为．4．判定下列命题的真假 （1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直； （3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。ABCDA1D1C1B1解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的， 如图，正

7、方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1＝AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性； （2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直； （3）如图,正方体AC1中，平面ADD1A1

8、⊥平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为600，即AD1与AC不垂直ABCDA1D1C1B1　解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面内；