双曲线及其性质知识点及题型归纳总结.doc

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1、双曲线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.（3）时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.表10-2标准方程图形yxB1B2F2A2

2、A1F1B1F1xyA1F2B2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得.切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，.则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦

3、点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，r1r2F1yxF2P(x0,y0)O，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为.题型归纳及思路提示题型1双曲线的定义与标准方程思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例10.11设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，

4、若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（）A.B.C.D.解析设的方程为，则，得.椭圆的焦点为，，因为，且由双曲线的定义知曲线是以为焦点，实轴长为8的双曲线，故的标准方程为，故选A.变式1设命题甲：平面内有两个定点和一动点，使得为定值，命题乙：点的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式2已知和是平面上的两个点，动点满足，求点的轨迹方程.变式3已知，，动点满足，记动点的轨迹为，求的方程.例10.12求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）经过点，焦点为；（2）实半轴长

5、为且与双曲线有公共焦点；（3）经过点，.分析利用待定系数法求方程.设双曲线方程为“”，或“”，求双曲线方程，即求参数，，为此需要找出并解关于，的两个方程.解析（1）解法一：因为焦点坐标为，焦点在轴上，故可设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，又因为，所以，解得，，故所求双曲线方程为.解法二：由双曲线的定义，.得，故，双曲线方程为.（2）解法一：由双曲线方程，得其焦点坐标为，，由题意，可设所求双曲线方程为，由已知，，得，故所求双曲线方程为.解法二：依题意，设双曲线的方程为，由.得，故所求曲线的方程为.（3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为

6、，因为所求双曲线经过点，，所以，解得，故所求双曲线方程为.评注求双曲线的标准方程一般用待定系数法，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在轴上还是在轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程，求出即可，这样可以简化运算.变式1根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点；且过点.变式2若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程.例10.13已知双曲线的离心率为2，焦点分别为，，则双曲线方程为（）A.B.C.D.解析由焦点为，，可知焦点在轴上，故设方程为，且，故.所以，，，故所求双

7、曲线的方程为.故选A.变式1已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.变式2已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为（）A.B.C.D.变式3已知点是双曲线渐近线上的一点，，是左、右两个焦点，若，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.题型2双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长.例10.14双曲线的渐近线方程为（）A.B