最新几何证明——角平分线模型(中级)讲课讲稿.doc

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1、几何证明——角平分线模型(中级)【知识要点】１、角平分线：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）；（2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线）。2、角平分线常见用法（或辅助线作法）：①垂两边：如图1，已知平分，过点作，，则。②截两边：如图2，已知平分，点上，在上截取，则≌。③角平分线+平行线→等腰三角形：如图3，已知平分，，则；如图4，已知平分，，则。(1)(2)(3)(4)④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰

2、三角形）：如图5，已知平分，且，则，。（5）3、角平分线比例定理如图6，为的角平分线，则或。（6）【经典例题】例1、已知如图，中，，平分，若，求证：；例2、如图，在中，，于，平分交于，交于，且交于。试求：与的大小关系如何？例3、已知如图，中，，平分，若，求证：；例4、如图：已知是的内心，交于点，交于。求证：的周长等于。例5、如图：已知在中，的平分线与的外角平分线交于点，∥，交于点，交于点，求证：。例6、如图，已知中垂直于的平分线于，交于，求证：。【提升训练】1、如图，已知的周长是分别平分和，于，且，求的面积．2．如图，△ABC的三边A

3、B、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　　．3．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于　　．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积．5．已知如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A的平分线交CD于F，BC于E，过点E作EH⊥AB于H．求证：EC=CF=EH．6．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点

4、E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．7．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．8．如图，已知在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离都相等，则这个距离是多少？9．已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，求：D到AB边的

5、距离．10．如图，△ABC中，点D在BC上，记△ABD的面积为S1，△ACD的面积为S2，若S1：S2=AB：AC，则AD是△ABC的角平分线．请说明理由．11、如图，已知在中，分别以为边向外作正、正，与交于，求证：（1）。（2）平分。12、已知：如图，、分别是外角和的平分线，它们交于点，求证：为的平分线。13、如图，，求证：。14、如图，已知∥、、分别平分和过点，求证：。15、如图，中，是的平分线，分别为上一点，且，求证：。16、已知：平分，，，求证：。17、已知，在中，、为角平分线，过点作交于，交于。求证：。18、已知如图，平分，

6、，求证：。19、如图，在四边形中，平分，过作于，并且，求证：。20、已知中，，过且//，的平分线与和分别交于、，的平分线与和分别交于、。求证。21、如图，已知线段∥，与相交于点，平分，，猜想线段、、三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。22、如图，已知中，平分，且，，求证：。23．如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　　．24．如图所示，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，∠MAB和∠NBA的平分线交于点E，过

7、点E作一直线垂直于AM，垂足为点D，交BN于点C．（1）观察DE、EC，你有什么发现？请证明你的结论；（2）请你再研究AD+BC与AB的关系，并给予证明．25．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．26．如图，△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，AC=8，AD=，求∠B、BC、AB．27．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．28．如图，已知点B，C分别在射线AN，AM上，∠MCB与∠NBC的平分线交于点P．（1）求

8、证：AP平分∠BAC；（2）若∠ACB=90°，PC=4，PB=5，AB=7，求AP的长．29．如图，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，若AC+CD=AB，求∠C的度数．30．如图，在△ABC中，∠C=90°，M