几何证明角平分线模型(中级)

几何证明角平分线模型(中级)

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时间:2018-11-25

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1、几何证明——角平分线模型(中级)【知识要点】1、角平分线:(1)角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:证明两条线段相等);(2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。(作用:证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线)。2、角平分线常见用法(或辅助线作法):①垂两边:如图1,已知平分,过点作,,则。②截两边:如图2,已知平分,点上,在上截取,则≌。③角平分线+平行线→等腰三角形:如图3,已知平分,,则;如图4,已知平分,,则。(1)(2)(3)(4)④三线合一(利用角平分线+垂线→等腰三角形):如图5,已知平分,

2、且,则,。(5)3、角平分线比例定理如图6,为的角平分线,则或。(6)【经典例题】例1、已知如图,中,,平分,若,求证:;例2、如图,在中,,于,平分交于,交于,且交于。试求:与的大小关系如何?例3、已知如图,中,,平分,若,求证:;例4、如图:已知是的内心,交于点,交于。求证:的周长等于。例5、如图:已知在中,的平分线与的外角平分线交于点,∥,交于点,交于点,求证:。例6、如图,已知中垂直于的平分线于,交于,求证:。【提升训练】1、如图,已知的周长是分别平分和,于,且,求的面积.2.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交

3、于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO=  .3.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于  .4.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,求△EDF的面积.5.已知如图在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠A的平分线交CD于F,BC于E,过点E作EH⊥AB于H.求证:EC=CF=EH.6.已知:如图,平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形.7.如图,等边△ABC中,AO是∠BAC

4、的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长.8.如图,已知在△ABC中,∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P到各边的距离都相等,则这个距离是多少?9.已知:如图在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,求:D到AB边的距离.10.如图,△ABC中,点D在BC上,记△ABD的面积为S1,△ACD的面积为S2,若S1:S2=AB:A

5、C,则AD是△ABC的角平分线.请说明理由.11、如图,已知在中,分别以为边向外作正、正,与交于,求证:(1)。(2)平分。12、已知:如图,、分别是外角和的平分线,它们交于点,求证:为的平分线。13、如图,,求证:。14、如图,已知∥、、分别平分和过点,求证:。15、如图,中,是的平分线,分别为上一点,且,求证:。16、已知:平分,,,求证:。17、已知,在中,、为角平分线,过点作交于,交于。求证:。18、已知如图,平分,,求证:。19、如图,在四边形中,平分,过作于,并且,求证:。20、已知中,,过且//,的平分线与和分别交于、,的平分线与和分别交于、。求证

6、。21、如图,已知线段∥,与相交于点,平分,,猜想线段、、三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。22、如图,已知中,平分,且,,求证:。23.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为  .24.如图所示,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,∠MAB和∠NBA的平分线交于点E,过点E作一直线垂直于AM,垂足为点D,交BN于点C.(1)观察DE、EC,你有什么发现?请证明你的结论;(2)请你再研究AD+BC与AB的关系,并给予证明.25.已知:如

7、图所示,AQ,BM,CN是△ABC的三条角平分线.试说明AQ,BM,CN交于一点.26.如图,△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,AC=8,AD=,求∠B、BC、AB.27.如图,已知∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠1=∠2,EF∥BC交AC于点F.试说明AE=CF.28.如图,已知点B,C分别在射线AN,AM上,∠MCB与∠NBC的平分线交于点P.(1)求证:AP平分∠BAC;(2)若∠ACB=90°,PC=4,PB=5,AB=7,求AP的长.29.如图,△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,若AC+CD=AB,求∠C的度数.30.如图,在△A

8、BC中,∠C=90°,M

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