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1、__________________________________________________第6讲联合熵与条件熵信息熵H(X)反映了随机变量X的取值不确定性。当X是常量时，其信息熵最小，等于0；当X有n个取值时，当且仅当这些取值的机会均等时，信息熵H(X)最大，等于logn比特。我们拓展信息熵H(X)的概念，考虑两个随机变量X和Y的联合熵H(XY)和条件熵H(Y
2、X)。1.联合熵设X，Y是两个随机变量，则(X,Y)是二维随机变量，简写为XY。二维随机变量XY的联合概率分布记为p(xy)，即根据信
3、息熵的定义可知，XY的信息熵为定义1.1二维随机变量XY的信息熵H(XY)称为X与Y的联合熵（jointentropy）。它反映了二维随机变量XY的取值不确定性。我们把它理解为X和Y取值的总的不确定性。练习：假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。甲里面有红蓝色球各50个，乙里面红、蓝色的球分别为99个和1个。试计算H(XY)我们将联合熵概念推广到任意多离散型随机变量上。定义1.2一组随机变量的联合熵定义为注：为了简化记号，我们有时把记为XN，把记为xN。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除_
4、_________________________________________________物理意义：（1）是这一组随机变量平均每一批取值所传递的信息量。（2）若N-维随机变量表示某信源产生的任意一条长度为N的消息，则是平均每条长度为N的消息的信息量。因此，若该信源产生一个长度为N的消息，则在不知道其它条件的情况下，对该消息所含信息量的最优估计为N-维信息熵。联合熵的性质：联合熵熵函数的一种特殊形式，所以熵函数的任何数学性质都适用于联合熵，包括：非负性、可加性、严格上凸性和最大离散熵原理，等等。当
5、然，联合熵还有自己的特殊性质。定理1.4（联合熵的独立界）其中等号成立的充要条件是所有随机变量相互独立。证明：这里仅证明，一般情形可类似证明。设对于XY的联合分布为p(xy)，X和Y的概率分布简记为p(x)，p(y)。由于我们有注意，构成一个概率分布。应用信息不等式可得其中等号成立的充要条件是，即X与Y相互独立。证毕1.条件熵收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________条件自信息：对于任何取值x，是一个带条件的随
6、机变量，其信息熵为再对所有x求熵的平均值可得如下条件熵：定义2.1设X,Y是两个离散型随机变量，联合分布为p(xy)。X相对于Y的条件熵H(X
7、Y)定义为条件自信息I(X
8、Y)的期望，即物理意义：H(X
9、Y)表示在已知Y取值的前提下，X取值的不确定性，亦即X的每个取值平均所提供的与Y无关的信息量。定理2.2（条件熵非负性）对于任何离散型随机变量X与Y，都有H(Y
10、X)≥0，其中等号成立当且仅当Y是X的函数，即X的取值可确定Y的取值。证明根据定义由于上述加式中各加项都≤0，所以该加式=0的充要条件是各加项
11、=0，即对于任何x和y，p(y
12、x)=1或者p(y
13、x)=0，亦即对于任何x，P(Y
14、x)是退化分布。这表明当X的取值确定时，Y的取值随即确定，即Y是X的函数。证毕定理2.3（熵的链法则）对于随机变量序列X1,X2,…和任何N≥1简记为其中H1=H(X1)，H2=H(X2
15、X1)，…，HN=H(XN
16、X1X2…XN-1)。证明：首先根据定义直接可得H(XY)=H(X)+H(Y
17、X)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除____________________________________________
18、______应用上述等式，对N用归纳法可证明熵的链法则。细节略。证毕意义：将多个随机变量的联合熵转化为这些随机变量的条件熵之和，可简化计算。注：链法则与熵的可加性是等价的。思考：下列不等式是否成立，其中各等号成立的充要条件是什么？这个性质说明什么？请读者尝试命名该性质。定理2.4（条件熵递减性）对于任何随机变量X和Y，有H(Y
19、X)≤H(Y)其中等号成立的充要条件是Y与X相互独立。证明一：根据链法则，H(XY)=H(X)+H(Y
20、X)再根据联合熵的独立界定理，立刻可得H(Y
21、X)≤H(Y)其中等号成立的
22、充要条件是X与Y统计独立。证毕在条件熵中，条件越少，熵值越大。相反，条件越多，熵值越小。这可理解为，我们知道的越多，则事物的不确定性越小。证明二：应用Jessen不等式证明。证毕1.计算公式令X，Y为离散的随机变量。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________公式1.公式2.其中P(X)是X的概率分布，为行向量，P(Y
23、X)是X到Y的条件概率矩阵，是
