我整理的大一线性代数要点.doc

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1、__________________________________________________《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组

2、，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为

3、n阶行列式。 　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； 　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶

4、α

5、=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0

6、的几种情况： 　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 　1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 　2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则

7、AB

8、=

9、A

10、*

11、B

12、

13、； ④收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________

14、kA

15、=k^n

16、A

17、 　3．矩阵的秩 （1）定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法　　一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 　4．逆矩阵 　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB

18、＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； 　（2）性质：　(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(AB的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） 　（3）可逆的条件： 　①　

19、A

20、≠0；　②r(A)=n;③A->I; （4）逆的求解 伴随矩阵法　A^-1=(1/

21、A

22、)A*；(A*A的伴随矩阵~) ②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）　 5．用逆矩阵求解矩阵方程： AX=B，则X=（A^-1）B； XB=A，则X=B(A^-1)；

23、AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1) 三、线性方程组 1．线性方程组解的判定 定理： (1)r(A,b)≠r(A)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________无解； (2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解； (3)r(A,b)=r(A)

24、A

25、≠0只有零解

26、(2)

27、A

28、=0有非零解 2．齐次线性方程组 （1）解的情况： r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解； r(A)