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时间:2020-12-12
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1、§4-6克龙尼克-潘纳(Kronig-Penney)模型布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性,即均为调幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时,无法计算电子的能量E、波函数ψ的微扰项,禁带宽度,紧束缚模型中的B值。克龙尼克-潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。根据Bloch定理(k,x)=u(k,x)eikx其中u(k,x)=u(k,x+na)代入薛定谔方程2(k,x)+E-V(x)(k,x)=0在势场的突变点,波函数及它的导数经过整理得到U(x)满足的方程必须连续,实际上要求函
2、数u(x)和它的导数连续,下面分不同区域求出u(x)的表达式(1)(2)1.在区域0E)其中C0和D0仍是n=0时的待定系数。设(6)U(x)满足的方程(1)(1)成为其解为(7)(8)在na3、(8)式对应又由u(x)=u(x+na)比较可得(12)(8)(11)在x=0处,函数u(x)和它的导数连续A0+B0=C0+D0(13)(14)(8)(5)比较可得在x=c(等效于x=-b)处,由u的连续条件得到等效于又(16)(15)同理,由x=c处,连续的条件得(17)A0+B0=C0+D0(13)(17)(14)(16)以上是关于A0、B0、C0、D0的齐次线性方程组,它们有非零解的条件是其系数行列式等于零。利用把此行列式化简后,得到:由于波矢k是实数-1≤coska≤122(18)4、(19)式中(19)式是决定于粒子能量的超越方程,相当复杂。为简化,设V0→∞,b→0(c→a),但V0b保持有限值。此时又设<<1则(18)式前面已设22c→a可化简为(20)利用(20)式可以确定粒子的能量。画出曲线设由于coska是介于-1和+1之间,可以求出满足该条件的上图粗线画出了许可的值,并可计算相应的能量E。由图再找出相应的coska,,即可得到E~ka曲线。讨论:把代入得能量可有准连续值,对应于金属中自由粒子的情况。1.当P=0时,由(20)式得出αa=ka±2nπ(21)P5、的数值表达了粒子被束缚的程度。2.当P→∞时,由(20)式必有得αa=nπn为整数(22)表示粒子具有分离的能级。这对应于处于在无限深势阱中粒子的情况。所以3.由图可知,当coska=±1时,即ka=±nπ,k=±nπ/a时出现能带的间隙―――禁带。4.由式α大对应的能量E也大,又由图可知,能量较大时对应的允许带较宽。
3、(8)式对应又由u(x)=u(x+na)比较可得(12)(8)(11)在x=0处,函数u(x)和它的导数连续A0+B0=C0+D0(13)(14)(8)(5)比较可得在x=c(等效于x=-b)处,由u的连续条件得到等效于又(16)(15)同理,由x=c处,连续的条件得(17)A0+B0=C0+D0(13)(17)(14)(16)以上是关于A0、B0、C0、D0的齐次线性方程组,它们有非零解的条件是其系数行列式等于零。利用把此行列式化简后,得到:由于波矢k是实数-1≤coska≤122(18)
4、(19)式中(19)式是决定于粒子能量的超越方程,相当复杂。为简化,设V0→∞,b→0(c→a),但V0b保持有限值。此时又设<<1则(18)式前面已设22c→a可化简为(20)利用(20)式可以确定粒子的能量。画出曲线设由于coska是介于-1和+1之间,可以求出满足该条件的上图粗线画出了许可的值,并可计算相应的能量E。由图再找出相应的coska,,即可得到E~ka曲线。讨论:把代入得能量可有准连续值,对应于金属中自由粒子的情况。1.当P=0时,由(20)式得出αa=ka±2nπ(21)P
5、的数值表达了粒子被束缚的程度。2.当P→∞时,由(20)式必有得αa=nπn为整数(22)表示粒子具有分离的能级。这对应于处于在无限深势阱中粒子的情况。所以3.由图可知,当coska=±1时,即ka=±nπ,k=±nπ/a时出现能带的间隙―――禁带。4.由式α大对应的能量E也大,又由图可知,能量较大时对应的允许带较宽。
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