近岸波浪缓坡方程模拟和其应用

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1、近岸波浪缓坡方程模拟和其应用　　摘要：该文首先对近岸波浪数学模型的研究、发展、应用进行了回顾和总结。基于改进的缓坡方程建立了一个完整的近岸波浪数学模型,通过对方程的拓展,综合考虑了海底陡坡影响、底摩擦、波浪破碎、非线性色散关系等问题。拓展后的数学模型用ADI法进行数值求解,计算效率高、稳定性好。采用两个经典地形试验数据对模型进行了的验证,数值结果和实验值吻合较好。最后，本文计算了某港区在防波堤作用下的港内波高值，充分发挥了本模型的工程实用性。关键词：数学模型；缓坡方程；实用性中图分类号：TQ018文献标识码：A文章编号：近岸水域对于当今人类活动具有特别重要的意义。外海波浪由外海传入近岸浅

2、水地区时，受水深、地形、底摩擦、障碍物、水流等因素的影响，会发生变形、折射、绕射、反射和破碎等各种波浪变形现象。波浪研究方法主要包括理论分析、模型实验、现场观测资料研究以及数值模拟的方法等。许多理论如Stokes波理论、浅水波浪理论、波浪折射、辐射和绕射理论以及高阶Boussinesq方程理论得到的空前发展。随着计算技术的迅速发展，利用数学模拟探讨波浪传播变形的规律已成为主要研究手段。7缓坡方程基于缓坡条件的假设，是势波理论三维Laplace方程的一种简化近似形式，它将三维问题转化为二维问题，能够模拟出波浪的折射、绕射和反射联合作用等现象。Eckart(1952)第一个提出了在浅水中传播

3、的缓坡方程。Berkhoff(1972)[1]在缓坡假设下，根据势波理论用小参数展开的方法推导出适合不同水深的反映波浪折射绕射联合作用的方程，即著名的缓坡方程。许多学者针对缓坡方程的缺陷，提出各种不同的类型的改进和推广。其中Dingemans(1997)[2]对海底作用项进行修正。本文在以往参与实际工程项目以及前人做的各项工作及得出的各项成果的基础上，将进行以下几个方面的研究工作：1.以Dingemans(1997)推导的方程为基础建立缓坡方程，建立综合考虑海底陡坡影响、底摩擦、波浪破碎、非线性色散关系的综合缓坡方程求解模型。2.使用ADI法得到无条件稳定的差分方法，在处理边界条件时，引

4、入虚拟边界层。3.对比不同试验地形上的物理模型试验结果和数值计算结果，验证模型应用性。4.将模型应用于实际工程中，为设计提供参数。1.理论模式1.1控制方程依照线性波理论，在推导缓坡方程过程中一个常用的假设就是波速势在垂直方向上的为，沿着坐标（x,7y）的变化通过h很弱的表现出来，根据该假设，可得到如下方程：（1）Dingemans(1997)对海底作用项进行修正，为简单起见，这里直接给出Dingemans改进后的方程简洁表达式。方程的具体表达式和推导可以参考相关文献【2】。（2）式中，为势函数，为相速，为群速，k为波数，线性色散方程为，h为水深。1.2缓坡方程的扩展以上给出的方程在方程

5、的实践应用中往往还需要考虑一些影响因素,如海底陡坡影响、底摩擦、波浪破碎、非线性色散关系等。1.2.1抛物化缓坡方程在速度势中引入慢变时间变量，对单色波有：（3）式中：为波陡，或，对于陡变地形有。代入方程（2）中，可得新的方程为：（4）1.2.2考虑能量扩散在波浪传播过程中由于风能、底摩擦以及波浪破碎的影响，通常在缓坡方程中添加能量耗散项，即在时间关联型方程中加入项（Pan，2000[3]）。7根据Kirby(1984)势函数结构，分解时间关联型缓坡方程，从分解方程实部可以得到：（5）（6）（7）式中：波能，，为波幅，、为波浪破碎项和底摩擦项。(1)底摩擦（8）式中：为波数，为水深函数，

6、为波能，为角频率，为底摩擦系数，它的取值通常为0.01-0.02之间.(2)波浪破碎影响（9）（10）式中：取1.0，为调整波高。对于波浪破碎指标，本文根据工程实际需要，根据规范选取合适的计算方式。1.2.3色散关系在计算波浪相关数值中，以水深和波浪周期来确定波长是需要考虑的问题之一。波长一般通过色散关系来求解，线性波色散关系一般表示如下：（11）式中：为角频率，为波数，为水深函数。7在实际计算过程中，式（12）的精度较差，又因为需要迭代求解，本文为了简便原因，决定采用Hunt公式进行计算。1.3拓展后的方程通过对方程的扩展，得到如下形式的方程：（12）2.方程离散和求解方程的数值离散采

7、用ADI方法，该格式能无条件稳定。将时间步长分两步，分别对x，y方向进行迭代求解。ADI方法虽然无条件稳定，但收敛的速度太慢，为了加快收敛速度，引入松弛因子，每次迭代完毕执行如下：（13）式中。为了更好的处理边界条件，需要用到Kirby的三维近似方法，但它有很大的自身限制性。这样，就在各边界处虚设一边界层，运用二维的方法对边界进行处理。3.模型验证为了验证本文模型的可用性,采用了Berkhoff经典试验地形进行了数值计算,并将数值计