(选修2-2)1.1《变化率与导数.ppt

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1、§1.1变化率与导数高中数学选修2-1微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。1.变化率一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率．问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?问题1气球膨胀率气球的体积V(单位:L)与半径r(单

2、位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.hto问题2高台跳水如果用运动员在某段时间内的平均速度粗略地描述其运动状态,那么htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10分析一下:当t从0增加到0.5时,平均速度为当t从1增加到2时,平均速度为思

3、考?当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平均速度是多少?h(t)=-4.9t2+6.5t+10式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1)则2.平均变化率的定义理解：1，式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，△y=03,变式例2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.1.1.2导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里任意时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?探究：思考：1、在t=2附

4、近的平均速度与t=2瞬时速度之间的关系？（以高台跳水为例）t=2瞬时速度就是t=2附近的平均速度当时间变化量趋于0的极限！2、在某一时刻的瞬时速度怎样表示？2.导数概念一般地，函数在处的瞬时变化率是我们称它为函数在的导数，记作，或练一练试求函数在x=1处的导数。解：在x=3处的导数？由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求瞬时变化率(极限）口诀：一差、二化、三极限2.已知解: