量子理论基础.docx

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1、第一章量子理论基础1．设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A（可见光），1A（x射线）以及0.001A（射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解]电子在电势差V加速下，得到的能量是1m2eV这个能量全部转化为一个光2子的能量，即1m2eVhhc2hc6.63103431081.24104V1.61019（伏）e(A)当123500A0时，V12.48（伏）1A时V21.24104（伏）0.001A时V31.24107（伏）2．利用普朗克

2、的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。[解]普朗克公式为8hv3dvvdc3ehv/kT1单位体积辐射的总能量为Uvdv3hv3dv0c30ehv/T1hv令y，则kTU8k4y3dy4T4（★）h3c30eyT1其中8k4y3dy（★★）h3c30ey1（★）式表明，辐射的总能量U和绝对温度T的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中是比例常数，可求出如下：因为1ey(1ey)1ey(1eye2y)ey1enyn11y3dyy3enydy0ey10n1令xny，

3、上式成为y3dy13xdxey1n1n4xe00用分部积分法求后一积分，有0x3exdxx3ex03x2exdx3x2ex032xexdx006xex06exdx6ex06014又因无穷级数1n490n故y3dy44ey6901501因此，比例常数8k4y3dy85k47.56101534h3c30ey115h3c3尔格/厘米·度3．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子；（2）能量为0.1电子伏的自由中子；（3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点；（4）温度T=1k时，具有动

4、能[解]德布罗意公式为3EkT（k为玻耳兹曼常数）的氦原子。2hp因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式p2E2代入德布罗意公式得h2E（1）E1100eV1.61010尔格，191028克1h6.6310271.23108厘米=1.23A21E12910281.61010（2）E20.1eV1.61013尔格，218401184091028克20.92A（3）E30.1eV1.61013尔格，31克31.171012A2（4）E43kT31.38101612.041016尔格，441.661024克2

5、2412.6A4．利用玻尔——索末菲的量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。[解]（1）方法一：量子化条件pdqnh，一维谐振子的能量为Ep212q222可化为p22q2212E2E2上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为a2E，b2E2这个椭圆的面积为pdqab2E2E2EEnh2v故Enhv上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。方法二：一维谐振子的方程为q2q0其解为qAsin(t)dqAcos(t)dt而pqAcos(t)A2TA22A22p

6、dq)dtTnh20cos2(t22vp2A222co2s(t而E12q2)1222)2222Asin(t12A2nhv2（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有eH2cR3故cReH这时因为没有考虑量子化，因此R是连续的。应用玻耳—索末菲量子化条件pdqnh这时，我们把电子作圆周运动的半径转过的角度作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量PH1R22R2RPd2Rd2R2eHR2nh20cnhcncReH2eH其中h2可见电子轨道的可能半径是不连续的。讨论：①由

7、本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量Enn1hv相比较，我们2发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能E01hv。但能级间的间隔则完2全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学

8、得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。4