1995考研数二真题及解析

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1、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设,则＿＿＿＿＿＿.(2)微分方程的通解为＿＿＿＿＿＿.(3)曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.(4)＿＿＿＿＿＿.(5)曲线的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设和在内有定义,为连续函数,且,有间断点,则()(A)必有间断点(B)必有间断点(C)必有间断点(D)必有间断点(2)曲线与轴

2、所围图形的面积可表示为()(A)(B)(C)(D)(3)设在内可导,且对任意,当时,都有,则()(A)对任意(B)对任意(C)函数单调增加(D)函数单调增加(4)设函数在上,则或的大小顺序是()(A)(B)(C)(D)(5)设可导,,若使在处可导,则必有()(A)(B)(C)(D)三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)求.(2)设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,求.(3)设,且,求.(4)设试讨论在处的连续性.(5)求摆线一拱()的弧长.(6)设单位质点在水平面内作直线运动,初速度,已知阻力与速度成正比(比例常数为1)

3、,问为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分8分)求函数的最大值和最小值.五、(本题满分8分)设是微分方程的一个解,求此微分方程满足条件的特解.六、(本题满分8分)如图,设曲线的方程为,且,又分别为该曲线在点处的切线和法线,已知线段的长度为(其中),试推导出点的坐标表达式.七、(本题满分8分)设,计算.八、(本题满分8分)设,且,证明.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法

4、则,.【相关知识点】复合函数求导法则：的导数为.(2)【答案】【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,特征根为,故对应齐次方程的通解为.设非齐次方程的特解,则,,代入微分方程,得,比较系数得故.所以通解为.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程的一个特解.是与之对应的齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；分三种情况：(1)两个不相等的实数

5、根,则通解为(2)两个相等的实数根,则通解为(3)一对共轭复根,则通解为其中为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为,其中与是次多项式,,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.(3)【答案】【解析】切线的斜率为.当时,.故所求切线方程为.化简得.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果

6、,则.(4)【答案】【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令则又,即,所以.由夹逼准则,得.即.(5)【答案】【解析】函数的定义域为全体实数,且,所以曲线只有一条水平渐近线.【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当(为常数),则为函数的水平渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.设函数无间断点,因为是连续函数,则必无间断点,这与有间断点矛盾,故应选择(D).

7、方法二：排除法,举出反例排除.设则都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D).(2)【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有应选择(C).方法二：画出曲线的草图,所求面积为图中两面积之和,即,故应选(C).(3)【答案】(D)【解析】因为对任意,当时,,则函数,即,故是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令,则对任意,当时,都有,但,,,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C).(4)【答案】(B)【解析】由可知在区间上为严格的单调递增函数,故由微分中值定理,.所以,应选择(B).(5)【答案

8、】(A)【解析】函数在处可导的充分必要条件是与存在且相等.由于,而可导,所以在处可导等价于在可导.令,则于是要使在处可导,当且仅当,即.故选择(A).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分