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1、复变函数复习提纲——电科2012武2013.11.19Chaper1复变函数基本要求：1.复数的基本概念：(一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模)2.复数的四则运算，幂与方根的计算。3.几种常用初等函数的表达式(指数函数，对数函数，乘幂函数与幂函数，三角函数与双曲函数)4.解析函数：定义和解析的充要条件。5.掌握解析函数与调和函数的关系(已知解析函数的实部会求虚部，已知虚部会求实部，并解出解析函数ω=f()z)。一、基本概念1、复数的三种形式：⎧xiy+代数式⎪z=⎨ρϕρϕcos+isin三角式⎪iϕ⎩ρe指数式iϕ
2、欧拉公式：ei=+cosϕϕsin2ii为虚数单位，=−1实部：xz==Re()ρϕcos虚部：yz==Im()ρϕsin22模：zx==+ρy辐角：ϕ,A记作rg(z)⎛⎞y辐角主值：arg()z=∈arctan⎜⎟[0，2π]⎝⎠x一般：ϕπ=Arg(z)=arg()zkk+2,=±±0,1,2,?*−iϕ复共轭:zxi=−=yeρ2、复数运算加减：zzxxiyy1212±=±+±()()12⎧+⋅+=−+⎪()xi1yxi1()2yxxyyixyxy21212(12+21)乘：zz⋅=⎨12iiϕϕ12i()ϕϕ12+⎪
3、⎩ρρρee⋅=ρe1212⎧+xi111122++yxiyxi－yx12xy12yix−()12yxy−21⎪=⋅＝22z⎪xi++yxiyxi－yxy+122222222除：=⎨zρρeiϕ12⎪11=ei()ϕϕ12－⎪ρρeiϕ2⎩22nninnϕ乘方：z==ρenρϕ()cos+isinnϕ1复变函数复习提纲——电科2012武2013.11.19111ϕπ+2kinn==⎡⎤ik()ϕπ+2nn开方：zeρρe⎣⎦1⎡+⎛⎞⎛⎞ϕπ22kkϕπ+⎤=+ρn⎢⎥cos⎜⎟⎜⎟iksin()=0,1,?,n−1⎣⎦⎝⎠⎝
4、⎠nn二、复变函数1、单值函数zx+iyxi⋅y指数函数：eee==eiz⋅−iz⋅iz⋅−iz⋅ee−+ee三角函数：sinzz==，cos22izz−−zzee−+ee双曲函数：sinhzz==，cosh222、多值函数==iϕ⎡⎤ik()ϕπ+2=++=±±对数函数：lnzeln(ρρ)lnelnρik()(ϕ2πk0,1,2,?)⎣⎦111ϕπ+2kinn==⎡⎤ik()ϕπ+2nn=根式函数：zeρρe，k0,1,?,n−1⎣⎦111ϕπ+2ki如：ze44==⎡⎤ρρik()ϕπ+24e4，k=0,1,2,3⎣⎦ϕ
5、π+2kizee==ρρiϕik()ϕπ+2=ρe2k=0,1二次根式：()ααlnz幂函数：z=e三、导数、解析函数⎧uv、可微1、fz()可导的充要条件是：⎨⎩满足CR−条件2、CR−条件：⎧∂∂uv⎧∂∂uv1==⋅⎪⎪∂∂xy⎪⎪∂∂ρρϕ直角坐标系下：⎨，极坐标系下：⎨⎪∂∂u=−v⎪1⋅=∂uv−∂⎪⎩∂∂yx⎩⎪ρ∂ϕρ∂⎧uv、可微3、fz()在区域上解析的充要条件是：D⎨⎩满足CR−条件4、解析函数ω=f()zui=+v的性质：（1）uxyCvxyC(),,==和()为相互正交的曲线族122复变函数复习提纲—
6、—电科2012武2013.11.1922（2）uv,均为D上的调和函数（具有二阶连续偏导，且满足拉氏方程∇uv=∇=0,0）。22⎧∂∂uu⎪+=0,uxy()为调和函数22⎪∂∂xy⎨22⎪∂∂vv+=0,vxy()为调和函数⎪∂∂xy22⎩5、给定实部（或虚部），求解析函数f(z)。最常用的方法：（不定积分法，又叫偏微分法），大致步骤：∂vv∂若已知实部uuxy=(,)，利用CR−条件，得,；∂x∂y∂∂vu∂u对=两边积分，得vd=+∫yg()x（*）∂∂yx∂x∂∂∂vu⎛⎞再对（*）式两边对x求偏导，得=+⎜⎟∫dy
7、gx′()（**）∂∂∂xxx⎝⎠∂∂uv∂∂∂uu⎛⎞由C−R条件，=−，得=−⎜⎟∫dy+gx′()，可求出gx()；∂∂yx∂∂∂yxx⎝⎠∂u代入（*）式，可求得虚部vd=+∫yg()x。∂x最后，f()()()zuxyivxy=,+⎯,⎯⎯→fz()zxiy=+Chapter2复变函数积分基本要求：1.复变函数积分的概念(理解、掌握积分路径与积分值的关系)2.灵活应用柯西定理（单连通，复连通），柯西积分公式，高阶导数公式解题。一、柯西定理1、单连通区域上的柯西定理：设fz()在闭单连通区域上解析,则关于上的分段光滑闭
8、曲线，DD[∫fzdz()⋅=0。l推论：在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有关，与积分路径的形状无关。故可以用解析函数来描述保守力。2、复连通区域上的柯西定理：3复变函数复习提纲——电科2012武2013.11.19n[[∫∫f()zdz⋅⋅=∑fzdz()l
