3、情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3观察下面一些函
4、数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果恒有,则是常数。题1已知导函数的下列信息:当14,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.解:当14,或x<1时,可知在此区间内单调递减;当x=4,或x=1时,综上,函数图象的大致形状如右图所示.xyO14题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)因为,所以因此,函数在上单调递增.(2)因为,所以当,即时,函数单调递增;
5、当,即时,函数单调递减.函数的单调递增区间是。。。单调递减区间是题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(3)因为,所以因此,函数在上单调递减.(4)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.1、求可导函数f(x)单调区间的步骤:(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)(3)确认并指出递增区间(或递减区间)2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:例3如图,水以常速(即单位时间内注入水
6、的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状练习3.讨论二次函数的单调区间.解:由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是练习4.求
7、证:函数在内是减函数.解:由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.一、求参数的取值范围增例2:求参数解:由已知得因为函数在(0,1]上单调递增增例2:在某个区间上,,f(x)在这个区间上单调递增(递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调,所以对于能否取到等号的问题需要单独验证增例2:本题用到一个重要的转化:作业:已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数,求a的取值范围。例3:方程根的问题求证:方程只有一个根。例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试
8、确定a的取值范围,并求其单调区间.解:若a>0,对一切实数恒成立,