利用密切平面的自由曲面求交算法

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1、http://www.paper.edu.cn1利用密切平面的自由曲面求交算法杨挺，吴宝海，王尚锦（西安交通大学能源与动力工程学院，陕西西安，710049）E-mail:Tyang@mail.xjtu.edu.cn摘要：提出了一种利用密切平面对自由曲面进行追踪求交的算法。通过引入初始交点的密切平面来追踪相邻交点。从而将一个复杂的空间三维问题简化为平面二维问题，提高了运算速度；同时，由于密切平面对曲线的最贴近性，确保了计算的高精度。该算法以交线弧长为追踪步长，得到的交点序列可控性强，分布更为均匀，使得对交线的其他操作更为便利。算例表明，在相同精度下，该算法的计算速度大为提高，

2、且交点序列分布更为均匀合理。关键词：自由曲面,求交,密切平面,弧长1.引言自由曲面的求交是计算机辅助几何设计（CAGD）和计算机辅助设计、制造（CAD/CAM）中一个常见和重要的问题，在几何造型、计算机仿真、计算机图形学、数控加工刀具轨迹生成以及机器人运动规划等方面都有着广泛的应用。目前曲面求交算法主要有两种：几何分割[1][2~4]法和追踪求交法。几何分割法求交是纯几何方法，其算法原理简单，但存在难以提高求交精度、曲面可能漏交以及运算量大等问题。另外几何分割求交法得到的结果往往是一系列无序的交线段，对其进行排序是一个十分困难的问题。追踪求交法的基本思想是先求出交线上的某一

3、点作为初始点，然后以交线切矢方向为追踪方向，利用相交曲面的局部几何性质推算相邻交点的近似位置，并利用迭代法求得符合精度要求的交点位置。依此反复进行,直至到达曲面片的边界。追踪求交法的优点是计算效率高且容易控制精度，稳定性好而且不受曲面表示类型的限制，因此成为当前曲面求交研究的热点。目前曲面的追踪求交算法大都是把曲面求交作为一个复杂的数学问题，单纯从数值计算的角度来寻求解决办法。然而要研究曲面相交这一几何现象，必须密切结合曲线曲面的几何本质，以实现快速精确地确定交线位置。为此，本文研究了交线处曲线曲面的微分几何性质，通过引入初始交点的密切平面，将追踪相邻交点这样一个复杂的空间

4、三维问题简化为一个平面二维问题，从而降低了计算量，提高了运算速度。而且密切平面是曲线在一点处“最贴近”的切平面，因此能比较近似地反映曲线在一点邻近的几何结构，这就保证了算法的高精度和高效率。最后，以两自由曲面求交为算例，给出了算法流程、计算结果以及与其他方法的比较。2.初始交点的确定利用追踪法进行曲面求交首先要确定交线上初始交点的位置。合理选择两相交自由曲面中任一曲面上的一条曲线与另一曲面相交，得到的交点即为曲面交线上的一点。为了简化运1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20020698042）资助。-1-http://www.paper.edu.cn[3

5、]算，可以采用曲面上的等参数线与另一曲面相交。文献提出的赋范空间投影法很好地解决了这个问题。如图1所示，对于曲面S上的一条u参数线（v=v=const），令cS=()u,v110111为u线上的初始点，qS=(u,v)为曲面S上的初始点。令02222τ=cq−（1）000u线S1c0τ0q0S2图1曲线与曲面相交把c和q分别作泰勒展开并略去高次项带入（1）式，可得00τ≈SSS(,)uvuΔ−(,)uvuΔ−(,)uvvΔ（2）0111uuv122222222分别用S、S和S点乘（2）式的两边，可得1u2u2v⎧S⋅=⋅Δ−⋅Δ−⋅Δτ()()()SSuuSSSSv11uu

6、01uu112uu212v2⎪⎨S⋅=⋅Δ−⋅Δ−⋅Δτ()()()SSuuSSSSv（3）22uu01uu122uu222v2⎪⎩S⋅=⋅Δ−⋅Δ−⋅Δτ()()()SSuuSSSSv22vv01uv122uv222v2迭代（3）式，若u线与S有交点，则c将收敛于交点，否则，c将收敛于u线上距曲面S2002最近的点。如果u线与曲面S没有交点，则选取另外一条参数线来寻找交线上的初始点。u23.追踪交线上相邻点的近似位置3.1空间曲线在一点邻近的几何结构[5]2空间曲线上一点的几何特性可以决定曲线在该点邻近的近似形状。在C类曲线c=c()s（为弧长参数）上取一点scc=()s

7、，为了研究c邻近的形状，在它邻近再取一000点c(ss+Δ)。利用泰勒公式有0122cc(sssssssos+Δ=)()()+cc&&Δ+&()Δ+Δ()（4）00002!由微分几何知识可知c=&α（5）-2-http://www.paper.edu.cnc=&&kβ（6）如图2所示，α和β分别为曲线在c处的切矢和主法矢，由α和β确定的平面称为曲线的0[5]密切平面∑。c0αβcΣo图2空间曲线上一点邻近的结构把（5）（6）带入（4）式并忽略高次项可得*12cc()ssssk+Δ=()+Δα+Δsβ00002*上标