附录-连续随机过程分析doc资料.ppt

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1、附录-连续随机过程分析A.1维纳过程如果变量的值以不确定的方式随时间变化，则称该变量服从某种随机过程（stochasticprocess）。随机过程分为离散时间（discretetime）和连续时间（continuoustime）两种。离散时间随机过程是指变量的值只能在一些确定的时间点上变化。而连续时间随机过程是指变量的值可以在任何时刻发生变化。随机过程又分为连续变量（continuousvariable）和离散变量（discretevariable）两种。在连续变量随机过程中，变量的值在规定的范围内取任何值。在离散变量随机过程中，变量的值只能取一些离

2、散值。事实上，股票价格是一种连续时间离散变量过程，股票价格只能取0.01倍数。但是，我们观察到的股票价格过程是连续时间、连续变量随机过程，而不是二叉树。如果用二叉树描述股票价格的变化，那么我们只见树木不见森林。维纳过程（Wienerprocess）又称布朗运动，是特殊的马尔科夫过程（Markovprocess）。该过程说明只有变量的当前值与未来的预测值有关，而与变量的历史值无关。股票价格的马尔科夫性与弱有效市场（weakformefficientmarket）是一致的，也就是说，股票的当前价格包含了所有信息，包括过去所有的价格记录和每股利润。投资者不可

3、能通过分析历史数据获得额外收益。维纳过程的行为模式与股票价格的行为模式非常相似，是描述股票价格的行为模式的最佳数学工具。维纳过程的定义如下：过程为维纳过程，必须满足下列条件：（1）是连续的，。（2）的值是正态的，也就是说随机过程服从正态分布。（3）维纳过程的增量服从正态分布，与无关。也就是说，对于不同的时间间隔，的值是相互独立的。从布朗运动定义中的条件（1）我们可以看出，布朗运动的初值为零。由条件（2）我们知道在t时刻，维纳过程的值为：（A-1）其中：为标准正态变量，服从标准正态分别。也就是说，在长度为的时间间隔内，服从布朗运动变量的均值为0，方差为。

4、由条件3我们可以看出，布朗运动的增量为（A-2）在长度为的时间间隔内，服从布朗运动变量的均值为0，方差为。布朗运动的这些特性成为描述股票价格的最佳数学工具，在期权定价中非常有效。A.2伊滕微积分在高等数学中所学的微积分称为牛顿微积分，牛顿微积分有很多规则，利用这些规则求解微积分非常方便。但是，这些规则在随机世界并不适用,在随机世界中使用伊滕（Ito）微积分。A.2.1伊滕微积分在牛顿微积分中，如果，则它的微分表达式为。在随机世界中，如果，它的微分表达式并不是，因为。那么布朗运动的微分形式是什么呢？用泰勒（Taylor）级数把展开，得到（A-3）在牛顿微

5、积分中，无穷小项和更高级的无穷小项均为零，而在随机世界中有所不同，。所以随机变量函数的微分为：（A-4）因为，，代入式（A-4）得到的微分:或者由此可见，伊滕微积分与牛顿微积分相比要复杂的多。与牛顿积分一样，只有少数随机微分方程可以用伊滕积分求出它的积分表达式。求随机过程的微分与求随机微分方程的积分相比要容易的多。A.2.2伊滕定理假设过程的漂移率和扩散率（或波动）分别为随机过程和时间的函数，我们称下列过程为伊滕过程。假设是和的连续可微函数，即其中也是一个随机过程。如果和有一微小变化和，响应地也有一个微小的变化。用泰勒（Taylor）定理展开就得到计算

6、的数学表达式：（A-5）在公式（A-5）中，等号右边的第四项和第五项及以后的各项均为无穷小量，可以忽略不计，而第三项的值不为零。这时就得到计算的近似表达式：（A-6）因为伊滕过程平方的数学期望为：而，，再略去高级无穷小项得到伊滕过程平方的均值：（A-7）把公式（A-7）和代入公式（4-6）中，得到一般形式的伊滕定理表达式：（A-8）由此可见，伊滕过程和时间的函数过程也为伊滕过程，它的漂移率为扩散率为下面给出伊滕定理：如果仅是的连续可微函数，则函数的微分方程为（A-9）在随机世界中，伊滕定理是最重要的定理之一，对于求随机过程的随机微分方程以及对随机微分进

7、行积分非常有用。下面我们将介绍这方面的内容。A.2.3从随机过程到随机微分方程伊滕定理的直接应用是从随机过程表达式中产生随机微分方程。下面我们求指数布朗运动的随机微分方程。（A-10）在公式（A-10）中，括号中是一个很简单的布朗运动过程，它的随机微分方程可以立即得到，但是随机过程的随机微分方程非常复杂，必须借助伊滕定理。假设，则为指数函数，。随机过程非常简单，我们可以立即写出它的随机微分方程，。随机过程是随机过程的函数，。运用伊滕定理，可以得到随机过程的随机微分方程:（A-11）指数函数有一个特殊的性质，它的各级导数均相等，这一点令我们非常欣慰。因此

8、过程的微分方程为（A-12）因为是的波动，因此我们称为对数波动。同理我们称为对数漂移。A.2.