02密克点在解题中的应用

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1、2中等数学密克点在解题中的应用叶中豪卢业照(1．海教育出版社，2000312．安徽合肥一六八中学，230000)中图分类号：Ol23．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2015)01—0002—05(本讲适合高中)四条直线两两相交于六点，此图形称为完全四边形．1知识介绍每个完全四边形共有四条边和六个顶命题如图1，直线AF、AE、BF、DE两两点，不共边的两个顶点称为对顶点，其连线称相交成四个三角形，则这四个三角形的外接为对角线，三条对角线交成的三角形称为对圆通过同一点．角三角形．将称为上述完全四边形的密克点．如图2，

2、在△ABC的边AB、AC上各取一点E、F，设△ABC的外接圆与经过、、，三点的圆交于4、两点．联结ME、MF．则由ABM=ACM，／AEM=AFM．得△MBE∽△MCF．①图1证明如图1，设四条直线两两相交所得的六个交点分别为A、B、C、D、、F，且设△ABF的外接圆与△ADE的外接圆的另一交点为，将与六个交点连线．由点在△ADE的外接圆和△ABF的外接圆上，分别知2DEM=MAD=MBF．图2可看作完全四边形及其密克点的等这表明，、C、、E四点共圆，即点在价构造．△BCE的外接圆上．设与BC的延长线交于点D，则D即类似地，点也

3、在△DCF的外接圆上．为完全四边形的第六个顶点，而正是该完从而，四个三角形的外接圆均通过点M．全四边形的密克点．提出这一结论的是英国几何学家密克由式①亦可反推点同时在△ABC的(A．Mique1)．外接网及△AEF的外接圆上．收稿口期：2014—12—08这一基本图形在解几何题中具有比较广2015年第1期3泛的应用．△朋F∽△PCE：AFP：／AEP．2应用举例这表明，A、P、E、F四点共圆．例1已知动点E、F分别在△ABC的又易知A，为所共圆的直径，根据直径所边A、AC_L，且BE为,定值对网周角为直角，知AN=90。．．证明

4、：／~AEF的例3如图外接圆过定点．证明如图3，在△ABC的外接圆上取一点，使得MBBECMC—CF’联结MB、MC．又MBA图3DF上AC．证明：E、、F三点共线．=MCA．证明如图6，延长MH，与△ABC的外则△MBE∽△MCF接圆交于点P、Q．jEMF=／BMC=A==>A、M、E、F四点共圆．故△AEF的外接圆始终经过定点例2如图4，已知，为△ABC的内心，，D上BC于点D，A，与△ABC的外接圆交于点S，延长SD，与外接圆交于点P．证明：／API：90~．图6Itl／kPEBo9／kPFC=．由Js△删=Js口=．图4

5、又四边形HBQC为平行四边形，则证明如图4，作饱_l’AC于点E，上QB=CH．QC=BH．AB于点联结PB、PC、PE、PF．故BE：BH，H．~ABH=ZACH易知，PS平分BPC．△BEH∽△CFH在△PBC中，由角平分线定理得jAEH=AFH．丝=：PCCDCE．’且_L—一⋯：ACP若点E、H、F不共线．则由四边形AEDF4中等数学的对称性，知点在角平分线AT上．：——～MC一CE‘．②I⋯从而，△ABC必为等腰三角形，与已知条件矛盾．由式①、②得=，且因此，只可能是E、、F三点共线．9=BAC=BMC．例4如图7，在

6、△ABC中，已知E、F分则△RPQ∽△MBC别为边AC、AB上的任意点，0、0分别为p=MBC：MAC．AABC、△AEF的外心，P、Q分别为线段已知PR#AC，于是，PQ,／／AM．E、上的俩~足BP==器．证明：而AM为o0与o0的公共弦，故00上AM．00fPQ．于是，00上PQ．例5如图8，、Ⅳ分别为锐角△ABC的外接圆上劣弧AC、AB的中点，过点作MN的平行线，与外接圆交于点A，，为AABC的内心，4，的延长线与外接网交于点P．设△GAB、AGAC的内心分别为，I、，2．证明：(1)MA·MP=NA·ⅣP；(2)P、G

7、、，I、，2四点共圆．(2009，全国高中数学联合竞赛)47证明如图7，分别作出△ABC、△AEF的外接圆o0、o0，设两圆交于另一点联结AM、BM、CM、EM、FM．另在线段BC上取一点R，使得袱fAC，联结QR．由∥AC：=BF2jRP=F2．CEB4-CE2’又==塑jQRfAB入pC～PE一RC一．’8证明如图8．类似地，RQ=CE．BFB+CE’(1)由内心性质知NA=NI=NI1，MA=MI=．于是，篙=．①由此AAMNAIMN．由ABM=／ACM，AFM=AEM又AAMN△ANM，这表明，四边形AMBF∽△MCEA

8、MIN为平行四边形．2015年第1期5则AP经过MN的中点L．FDSABFEEF-BFMFDCS八日cEBC·CEMC‘故S△M仰：S△P1这表明，MD为FMC的平分线．MAt·MPnAMP由上即得AM-l_DM．1=NA·NPsinANP例7如图10，设D为A