中点在解题中的运用.doc

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1、“中点”在解题中的运用例谈 在平时的解题中，我们经常遇到“中点”，那么我们如何运用中点位置的特殊性解题呢？首先我们了解一下与中点有关的几个定理：①等腰三角形底边上的中线、高与顶角的平分线互相重合；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底之和的一半；④经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边；经过梯形一腰中点与底边平行的直线，必平分另一腰。现谈谈中点在解题中的运用。例1 如图1，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的中线，BD与CE相交于O。F，G分别是OB，OC

2、的中点。求证：EF=DG。图1分析与解 E是AB的中点，F是OB的中点，可得；同理可证，所以EF=DG。 例2 如图2，在△ABC中，BE，CD分别是AC，AB边上的高。G，F分别是DE，BC的中点。求证：GF⊥DE。图2分析与解 要证GF⊥DE，已知G为DE的中点，只须连接DF，EF，证DF=FE。因为∠BDC=90埃?/SPAN>BF=FC，所以；同理可证EF=，所以DF=EF。又DG=GE，所以GF⊥DE。 例3 如图3，梯形ABCD中AB是下底，以AD，AC为邻边作平行四边形ADEC，延长DC交BE于F点。求证：F是BE的中点。图3分析与解 要证点F是BE

3、的中点，已知DF//AB，根据“经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边”，需构造中点，所以连接AE，交DC于H，证EH=AH。因为四边形ADEC是平行四边形，所以EH=AH。又DF//AB，所以EF=BF。点评 遇到中点问题时，经常要寻找“直角三角形、等腰三角形，另一个中点、平行线”来解决问题。 例4 如图4，在△ABC中，E是CB的延长线上一点，CB=BE，EF=AC，过点A作AD//EF交CB的延长线于D。求证：∠DAB=∠BAC。图4证明 延长AB到点G，使得BG=AB，连接EG。因为AB=BG，∠ABC=∠GBE，CB=BE，所以△ABC≌△GB

4、E所以∠BAC=∠G，AC=EG又EF=AC，所以EF=EG所以∠G=∠EFG所以∠BAC=∠EFG又AD//EF所以∠DAB=∠EFG所以∠DAB=∠BAC点评 遇到中点，有时也“倍长中线”。 例5 如图5，已知梯形ABCD中，AD//BC，，F为CD的中点，求证：AF⊥BF。图5证明 延长AF，BC交于点E，因为AD//BC所以∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠E又DF=CF，所以△ADF≌△ECF所以AF=EF，AD=CE又，所以BE=AB又AF=FE，所以AF⊥BF点评 遇到中点，有时也构造“X”字型的全等三角形。