计算机数学15讲课稿.ppt

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1、计算机数学15基本要求掌握集合、子集、全集、空集和幂集等概念。熟悉常用的表示集合的方法。能够判定元素与集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握两个集合相等关系和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。熟练掌握集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。掌握余集与集合笛卡儿乘积的概念以及DeMorgan公式。重点难点重点：证明两个集合相等的方法；运用集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式来证明更复杂的集合等式。15.1集合集合概念是数学中最基本的概念之一，它

2、不具有严格精确的定义，只能给出描述性定义。一般地，把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来研究时，这个整体便称为一个集合.组成这个集合的个别事物，称为集合的元素。例如：15.1.1集合的概念与表示方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；      坐标平面上所有点的集合；表示一个集合的方法通常有两种：列举法和描述法。   列举法是列出集合的所有元素、或其规律。例如：A={a,b,c,d…},B={1,2,3,4…}描述法是将集合中元素的共同属性描述出来，其一般形式为：M=｛x｜x所具

3、有的特征｝例如：A=｛y｜y=sinx，x∈R｝B=｛(x，y)｜x2+y2=R2｝C=｛(x，y，z)｜z=x2-y2｝常见的几个数集用特定的符号表示：N=｛x｜x为自然数｝Z=｛x｜x为整数｝Q=｛x｜x为有理数｝R=｛x｜x为实数｝如果集合A的元素都是集合B的元素，即若x∈A，则有x∈B，则称A是B的子集，B包含A，记为AB，或BA。例如NZ，ZQ，QR。若AA，且BA，则称集合A与A相等，记为A=B。例如：如果：A=｛x｜x2-1=0｝，B=｛1，-1｝，C=｛x｜x=±1｝

4、则有：A=B=C不含任何元素的集合称为空集，记为.例如：｛x｜x2+1=0，x∈R｝=在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记为E。全集是一个相对性概念。由于研究的问题不同，所取的全集也不同，而且并非是惟一的，一般总是取一个比较方便的集合作为全集。例如：在研究函数定义域时，我们取全集E=R。显然对任一集合A有AE设A是一个集合，由A的所有子集组成的集合，称为集合A的幂集，记为ρ(A)或2A。例15.1.1设:A=，B=｛1｝，C=｛a，b，c｝求:A、

5、B、C的幂集解:ρ(A)=｛｝ρ(B)=｛，｛1｝｝ρ(C)=｛，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝｛a，c｝，｛b，c｝，｛a，b，c｝｝定理15.1如果有限集合A中元素的个数(称为集合A的元数)为n，则幂集ρ(A)的元数为2n。证：n元集合A，它的0元子集有C0n个(即)，1元子集有C1n个，…，m元子集有Cmn个，…，n元子集有Cnn个，全部子集共有Cn0+Cn1+…+Cnm+…+Cnn=2n即：幂集ρ(A)的元数为2n15.1.2集合的运算定义17.1设有全集E，A和B是其中两个

6、任意集合。(1)所有属于A或属于B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记为A∪B。即A∪B=｛x｜x∈A或x∈B｝(2)属于A同时又属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记为A∩B。即A∩B=｛x｜x∈A且x∈B｝(3)属于A而不属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的差集，记为A-B。即A-B=｛x｜x∈A且xB｝(4)由E中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记为。即=｛x｜x∈E且xA｝例15.1.1设:E=R，A=｛x｜｜x｜≤3｝，B=｛x｜0＜x＜5｝则：A∪B=｛x｜

7、-3≤x＜5｝A∩B=｛x｜0＜x≤3｝A-B=｛x｜-3≤x≤0｝例15.1.2若：AB则：A∪B=B，A∩B=A，A-B=为了直观，有时我们用文氏图(Venn)来表示集合，即用矩形圈起来的平面上的点表示E，用封闭曲线圈起来的圆表示集。则集合的四种运算的文氏图表示即为图所示。=｛x｜x＜-3或x＞3｝A∪BA∩BA-B图与实数运算满足一些运算律类似，集合的运算也具有许多运算律.设A，B，C为任意集合，则有恒等式如下：(1)交换律A∪

8、B=B∪A，A∩B=B∩A(2)结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C(3)分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(4)等幂律A∪A=A，A∩A=A(5)同一律A∪=A，A∩E=A(6)零一律A∩=，A∪E=E(7)互补律A∪=E，A∩=(8)吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A(9)摩根律(10)对合