相似模型分类讲解及练习.doc

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1、相似模型部分模型【课程导入】相似三角形判定的基本模型平行线型：A字型X字型A、X混合型相交线型：母子型双垂直（射影定理）旋转型三垂直一线三等角你能找到每个图中的相似三角形吗？【漫漫学】1平行线型（A字型和X字型及变形）n添加平行线构造相似添构造相似三角形的基本图形。【例1】已知：如图，AD是的中线。求证：（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求;（2）若E为AD上的一点，且，射线CE交AB于F，求。【练习1.1】已知，如图，D是BC边的延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC。求：AF与FB的比值。【练习1.2】在

2、△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：当时，有（如图1）图1图2图3图4（2）当时，有（如图2）（3）当时，有（如图3）在图4中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）．n添加垂线线构造相似添构造相似三角形的基本图形。结论为:【例2】已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，

3、过点E作EF∥AB交BD于点F，则：（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．【练习2.1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APN

4、C的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．27.2.2相交线型n母子型（→双垂直）由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，故被称为“母子型”．图1图2当图1中∠BAC=90°时，模型由“母子型”就变成“双垂直”．由图1可得：．由图2可得：．（射影定理）【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于G，AE·AD=16，AB=4．（1）求证：CE=EF；（2）求EG的长．【练习3.1】如图，已知△ABC中，∠ACB=9

5、0°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°．（1）求证：△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S．n旋转型通过“旋转型”相似三角形的特征：1、由一点发出四条线段对应成比例；2、两对相似三角形；3、旋转型的几何模型图：【例1】如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，，．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．图1图2图3解答问题：（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为；②在平移过程中，的值为（用含的代数式表示）；（2）将图2中的三角板绕点逆时针

6、旋转，原题中的其他条件保持不变．当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持不变．计算的值（用含k的代数式表示）．【练习3.1】（2014门头沟一模24）已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.（1）如图1，当α=60°时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；___________；（2）如图2，当α=45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；（3）如图3

7、，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中）图1图2图3n三垂直（→一线三等角）根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形。三垂直（→一线三等角）的几何模型：三垂直一线三等角【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=∠C=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点

8、作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．（1）求证：△ABP∽△PCE；（2）在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC=5∶3?如果存在，求出BP的长