(完整版)数学归纳法经典例题及答案.doc

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1、数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n取第一个值n0（如n01或2等）时结论正确；（2）假设当nk(kN,kn0)时结论正确，证明nk1时结论也正确．综合（1）、（2），⋯⋯注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：1111n1335572n12n12n1证明：①n=1时，左边11313，右边21113，左边=右边，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即：1133155172k112k1k2k1．当n=k+1时．111

2、111335572k12k12k12k3k12k12k12k32k23k12k1k12k12k32k12k3k2k132kk111这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n等式成立．1题型2.证明不等式例2．证明不等式112131n2n(n∈N)．证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n=k时，不等式成立，即112131k2k．那么当n=k+1时，112131k1k12k1k12kkk111kkk1112kk112k1这就是说，当n=k+1时，

3、不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是112131k1k12k1，当代入归纳假设后，就是要证明：2k1k12k1．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋⋯＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn＝a22n－3，Tn＝b2＋b3＋b4＋⋯＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn

4、＝n(n＋1)(n－1)3.解：(1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)52令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝Cn2·2n－2bn＝a2n－3＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2)2①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)＝2，左边＝右边，等式成立．3②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk＝k(k＋1)(k－1)成立3那么，当n＝k＋1时，左边＝Tk＋bk＋1＝k(k＋1

5、)(k－1)3＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝k(k＋1)(k－1)＋k(k＋1)3＝k(k＋1)k－1＋1＝k(k＋1)(k＋2)33＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)－1]3＝右边．故当n＝k＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn＝n(n＋1)(n－1).33