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时间:2020-11-23
《(完整版)数学归纳法经典例题及答案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学归纳法(2016.4.21)一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是:(1)证明当n取第一个值n0(如n01或2等)时结论正确;(2)假设当nk(kN,kn0)时结论正确,证明nk1时结论也正确.综合(1)、(2),⋯⋯注意:数学归纳法使用要点:两步骤,一结论。二、题型归纳:题型1.证明代数恒等式例1.用数学归纳法证明:1111n1335572n12n12n1证明:①n=1时,左边11313,右边21113,左边=右边,等式成立.②假设n=k时,等式成立,即:1133155172k112k1k2k1.当n=k+1时.111
2、111335572k12k12k12k3k12k12k12k32k23k12k1k12k12k32k12k3k2k132kk111这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,由①、②可知,对一切自然数n等式成立.1题型2.证明不等式例2.证明不等式112131n2n(n∈N).证明:①当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.②假设n=k时,不等式成立,即112131k2k.那么当n=k+1时,112131k1k12k1k12kkk111kkk1112kk112k1这就是说,当n=k+1时,
3、不等式成立.由①、②可知,原不等式对任意自然数n都成立.说明:这里要注意,当n=k+1时,要证的目标是112131k1k12k1,当代入归纳假设后,就是要证明:2k1k12k1.认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标.题型3.证明数列问题例3(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+⋯+an(x-1)n(n≥2,n∈N*).(1)当n=5时,求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值.(2)设bn=a22n-3,Tn=b2+b3+b4+⋯+bn.试用数学归纳法证明:当n≥2时,Tn
4、=n(n+1)(n-1)3.解:(1)当n=5时,原等式变为(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)52令x=2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243.(2)因为(x+1)n=[2+(x-1)]n,所以a2=Cn2·2n-2bn=a2n-3=2Cn2=n(n-1)(n≥2)2①当n=2时.左边=T2=b2=2,右边=2(2+1)(2-1)=2,左边=右边,等式成立.3②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即Tk=k(k+1)(k-1)成立3那么,当n=k+1时,左边=Tk+bk+1=k(k+1
5、)(k-1)3+(k+1)[(k+1)-1]=k(k+1)(k-1)+k(k+1)3=k(k+1)k-1+1=k(k+1)(k+2)33=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)-1]3=右边.故当n=k+1时,等式成立.综上①②,当n≥2时,Tn=n(n+1)(n-1).33
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