南京信息工程大学硕士研究生招生入学复试考试大纲.doc

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1、南京信息工程大学硕士研究生招生入学复试考试大纲科目代码：F02科目名称：数学专业基础综合第一部分大纲内容1.常微分方程部分：一）初等积分法1).了解常微分方程产生的背景，它与数学分析和高等代数课程之间的关系，了解线性方程和非线性方程的判别；2).了解变量分量分离方程、齐次方程相关概念；3).了解一阶线性方程的相关定义,如齐次方程、非齐次方程、齐次项和非齐次项等，Bernoulli方程的概念；4).了解全微分方程、积分因子的概念；5).了解一阶隐式方程的定义,一阶隐式方程的四种类型,高阶方程的定义;6).理解常微分方程相关概念：常微分方程，解、特解与通解，初始

2、条件，积分曲线等7).理解初等积分法的内涵，即利用不定积分求微分方程的解；理解微分形式的变量分离方程8).理解Bernoulli方程的解法，一阶线性方程初始问题的求解公式；9).理解全微分方程求解思想，即利用二元函数微分理论，求二元函数微分的原函数；积分因子的不唯一性；10).理解一阶隐式方程与显示方程的不同之处,一阶隐式方程的求解难点,高阶方程的求解难点;11).掌握变量分离方程的解法；12).掌握一阶线性齐次方程的解法，常数变易法，一阶线性非齐次方程的解法；13).掌握全微分方程的解法，全微分方程的判断，特殊积分因子的求法；14).掌握四种类型的一阶隐式

3、方程的求解方法,高阶方程的降阶法(不显含自变量的高阶方程,恰当导数方程)。二）基本定理1).了解解的存在与唯一性定理的条件和结论，解的存在区间，Picard逐步逼近法等概念；2).了解局部Lipschitz条件的概念，函数是否满足局部Lipschitz条件的验证，局部国Lipschitz条件在解的延展过程中的作用，解对初值的连续依赖性和可微性；3).理解Lipschitz条件的概念，函数是否满足Lipschitz条件的验证；Lipschitz条件在存在唯一性定理证明中的作用；41).理解饱和解、最大存在区间的概念，解的延展过程，饱和解的存在区间与解的渐近的关

4、系；2).掌握解的存在与唯一性定理的证明，Picard解序列的构造及收敛性的证明，利用Picard逐步逼近法求近似解。3).掌握比较原理和解的延展定理及其证明，初值对解的存在区间的影响。一）一阶线性微分方程组1).了解线性微分方程组的有关概念(系数矩阵、向量值函数、方程组的初始问题)、方程组解的存在唯一性定理及证明思路；2).了解常系数线性微分方程组的系数矩阵的特征方程、特征根、特征向量，特征根、特征向量与解的关系；3).理解向量值函数线性相关、线性无关的概念，Wronsky行列式的概念，基本解组的概念，基本解的Wronsky行列式的性质，Liouville

5、公式；4).理解利用系数矩阵的特征根、特征向量求常系数线性微分方程组的基本解组的方法；5).掌握线性（齐次、非齐次）微分方程组解的结构，通解基本定理，常数变易法；向量值函数线性相关、线性无关的判断。6).掌握常系数线性微分方程组的解法。二）n阶线性微分方程1).了解n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，函数组线性相关、线性无关，函数组的Wronsky行列式等概念；2).了解n阶常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根；由特征根确定微分方程的解；3).了解非齐次项的概念，利用常数变易法求特解的方法；4).了解质点运动方程的物理意义，振动、无阻尼自由振动、阻尼自由

6、振动、无阻尼强迫振动、阻尼强迫振动等概念；5).了解Laplace变换及其在微分方程初值问题求解问题中的应用；6).理解n阶线性微分方程与n维线性方程组之间的关系，即对任意一个n阶线性微分方程，可将其化为一个n维线性方程组，且他们的解是等价的，基本解组，Liouville公式；7).理解由复特征根如何确定微分方程解的方法；8).理解比较系数法与常数变易法的差异；9).理解微分方程的解与振动之间的联系，共振概念；10).理解幂级数解法大意；11).掌握函数组线性相关、线性无关的证明方法，n阶（齐次、非齐次）线性微分方程的通解结构定理的证明；12).掌握n阶常系

7、数线性齐次微分方程的解法；41).掌握第一类型、第二类型n阶常系数线性非齐次微分方程的解法；2).掌握通过求二阶常系数线性方程的通解探讨力学问题中振动现象的方法，阻尼项和强迫项对振动的影响；3).掌握的相关定理及其在微分方程初值问题求解问题中的应用。一）定性、稳定性理论简介1).了解稳定性相关概念2).理解简单的李雅普诺夫函数的构造方法，正定函数、负定函数的定义；3).掌握李雅普诺夫函数的定义，通过构造简单的李雅普诺夫函数，利用相关定理，判断零解的稳定性。2.数值分析部分一）绪论1).了解计算机算法的特性；2).理解误差的定性分析与避免误差的危害、数值运算的

8、误差估计、算法的数值稳定性；3).掌握误差的来源与分