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1、2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1x2x2（1）若lim(eaxbx)1,则（）x01111(A)a，b1(B)a,b1(C)a,b1(D)a,b12222（2）下列函数中，在x0处不可导的是（）(A)fxxsinx(B)fxxsinx(C)fxcosx(D)fxcosx2ax,x11,x0（3）设函数f(x),g(x)x,1x0,若f(x)g(x)在R上连续，则（）1,x0xb,x0(A)a3,b1(B)a3,b2(C)a3,b1(D)a3,
2、b21（4）设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(x)dx0,则（）011(A)当f(x)0时,f()0(B)当f(x)0时,f()02211(C)当f(x)0时,f()0(D)当f(x)0时,f()02221x1x222（5）设Mdx,Ndx,K1cosxdx,则（）2x21x2e2(A)MNK(B)MKN(C)KMN(D)KNM2202x12x（6）dx(1xy)dydx(1xy)dy（）1x0x5577(A)(B)(C)(D)3636110（7）下列矩阵中与矩阵011相似的为（）001111101(A)011(B)011001001111101(
3、C)010(D)010001001（8）设A,B为n阶矩阵，记rX为矩阵X的秩，X,Y表示分块矩阵，则（）(A)rA,ABrA(B)rA,BArATT(C)rA,BmaxrA,rB(D)rA,BrAB二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.2（9）limx[arctan(x1)arctanx]x2（10）曲线yx2lnx在其拐点处的切线方程是1（11）dx25x4x33xcost（12）曲线，在t对应点处的曲率为3ysint4z1z（13）设函数zx,y由方程lnzexy确定,则1x(2,)2（14）设A为3阶矩阵,1,2,3是线性无关的向量组,若A1
4、2123,A2223,A323,则A的实特征值为.三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）2xx求不定积分earctane1dx.（16）（本题满分10分）xx2已知连续函数f(x)满足f(t)dttf(xt)dtax00（I）求f(x)；（II）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.（17）（本题满分10分）xtsint,设平面区域D由曲线(0t2)与x轴围成,计算二重积分(x2y)d.y1costD（18）（本题满分10分）2已知常数kln21.证明：(x1)(xlnx2kln
5、x1)0.（19）（本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.（20）（本题满分11分）42已知曲线L:yx(x0),点O0,0,点A0,1.设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L9所围成图形的面积，若P运动到点3,4时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率.（21）（本题满分11分）xx设数列x满足：x0,xen1en1(n1,2,),证明x收敛，并求limx.n1nnnn（22）（本题满分11分）222设实二次型f(x1,x2,x3)(x1,x2x3)
6、(x2x3)(x1ax3),其中a是参数.(I)求f(x1,x2,x3)0的解；(II)求f(x1,x2,x3)的规范形.（23）（本题满分11分）12a1a2已知a是常数，且矩阵A=130可经初等列变换化为矩阵B=011.27a111(I)求a;(II)求满足APB的可逆矩阵P.
