已知系统的开环传递函数幻灯片课件.ppt

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1、第4章根轨迹法4-1根轨迹的基本概念4-2绘制根轨迹的基本法则4-3广义根轨迹4-4系统性能的分析基本要求1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动

2、的轨迹。4－1根轨迹法的基本概念当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为根轨迹。1、根轨迹概念例4-1如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：开环传递函数有两个极点。没有零点，开环增益为K。闭环特征方程为闭环特征根为闭环传递函数为从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。稳定性当K由0→∞，根轨迹不会进入s右半边，即系统总是稳定的。稳态特性坐标原点有一个开环极点，所以属I型

3、系统，根轨迹上的K值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围。动态特性当00.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程。2、根轨迹与系统性能3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为（4－1）将前向通道传递函数G（s）表示为：（4－2）为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益式中为反馈通道的根轨迹增益。（4－4）（4－3）（4－5）问：f与l、q与h有什么关系？闭

4、环传递函数分别为闭环零、极点。式中：（4－6）比较式（4－2）和式（4－6）可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。4、根轨迹方程根轨迹方程G(s)H(s)=-1式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。闭环特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-7）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称

5、为特征根。设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时根轨迹方程又可以写成：（4－8）不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程（4－9）模值方程（4－10）注意在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的值。模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。例4-2它们应满足相角方程（4－9）已知系统的开环传递函数:试证明复平面上点是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为证明：该

6、系统的开环极点例4－1开环零、极点分布图(k=0)以为试验点，可得以为试验点，观察右图，可得证毕可见，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。例4-3已知系统开环传递函数当变化时其根轨迹如图4-2所示，求根轨迹上点所对应的K值。解根据模值方程求解值模值方程根据图可得所以上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的值。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。返回根轨迹起于开环极点，终于开环零点。法则1、根轨迹的起点与

7、终点由根轨迹方程有：4－2绘制根轨迹的基本法则若开环零点数m<开环极点数n(有个开环零点在无穷远处)则有()条根轨迹趋于无穷远点→→起点→→终点一、根轨迹的分支数分支数＝开环极点数＝开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴闭环极点为实数→在实轴上复数→共轭→对称于实轴法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性三、根轨迹具有连续性法则3、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：例4-4已知系统的开环传递函数试根据法则3，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点按照公式得以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线对应的开环传递函数(a

8、)(b)(c)(d)法则4、根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。证明：设一系统开环零、极点分布如图。在实轴上任取一试验点代入相角方程则所以相角方程成立，即