2021届高中数学必做黄金100题27 利用导数证明不等式题（原卷版）.docx

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1、第27题利用导数证明不等式一．题源探究·黄金母题利用函数的单调性，证明下列不等式：（1），；（2），；（3），；（4），．【试题来源】人教版A版选修2-2P31习题1．3B组第1题【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式．【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法——构造函数法，要注意所构造函数的定义域．二．考场精彩·真题回放【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明

2、：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求单调性，利用导数证不等式．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大．作为压轴题，基本上含有参数．含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．【学科素养

3、】数学运算、逻辑推理【难点中心】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．三．理论基础·解题原理考点一利用导数解决不等式恒成立问题、证明不等式导数研究不等式，涉及不等式的证明、不等式的恒成立等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两

4、个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．考向1利用函数的单调性证明不等式【2016高考新课标Ⅲ】设函数．（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（II

5、I）设，证明当时，．【温馨提醒】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明考向2构造函数证明不等式【2018江西五校联考】已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是A．B．C．D．【温馨提醒】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应

6、项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．考向3不等式恒成立问题已知函数，．（I）求函数的图像在处的切线方程；（II）证明：；（III）若不等式对任意的均成立，求实数的取值范围．【温馨提醒】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；（3）若恒成立，可转化为．五．限时训练*提升素养1.（2020·江西东湖·）已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（）A．，B．

7、，C．，D．，2.（2020·北京市）若，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．3.（2020·北京高三开学考试）设函数，则是（）A．奇函数，且存在使得B．奇函数，且对任意都有C．偶函数，且存在使得D．偶函数，且对任意都有4.（2020·黑龙江）若定义域的函数满足且，若恒成立，则m的取值范围为（）A．B．C．D．5.（2020·广西）已知函数，若，都有恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．6.．（2020·北京已知函数，，其中，e为自然对数的底数，若，使，则实数a的取值范围是___________．7.（2020·河南信阳

8、）已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集为______.8.（2020·广东盐田）已知函数.（1）求的极值；（2）设，求证：.9.（2020·江苏）已知函数，，其中为自然对数的底数．（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；