2020年高职高考数学上册3.4 函数的奇偶性.ppt

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1、3.4函数的奇偶性【复习目标】1.理解和掌握函数奇偶性的概念.2.掌握奇函数、偶函数的图象特征.3.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.4.能利用函数的奇偶性解决简单问题.【知识回顾】1.函数奇偶性的定义(1)奇函数:如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么这个函数叫奇函数.(2)偶函数:如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么这个函数叫偶函数.2.图象特征(1)奇函数的图象关于坐标原点成中心对称图形;反之,如一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形

2、,那么函数是奇函数.(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;反之,一个函数的图象关于y轴成轴对称图形,那么函数是偶函数.3.判断奇偶性的步骤(1)写出定义域.(明确奇函数、偶函数定义域关于对称)(2)求f(-x).(3)对f(-x)与f(x)进行比较.【例题精解】【解】(1)函数f(x)=x3-2x的定义域为R,当x∈R时,-x∈R∵f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-f(x)∴f(x)=x3-2x为奇函数.(2)函数f(x)=-3x6-x2的定义域为R∵f(-x)=-3(-x)6-(-x)2=-3x6-x

3、2=f(x)∴f(x)=-3x6-x2为偶函数.(3)f(x)=x2+2x-5的定义域为R,当x∈R时,-x∈R∵f(-x)=(-x)2+2(-x)-5=x2-2x-5可以看出f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)∴f(x)=x2+2x-5为非奇非偶函数.【点评】　判定函数奇偶性的步骤:(1)判定函数的定义域A.(2)判定A是否关于原点对称.A是否关于原点对称,是判断一个函数奇偶性的必要条件,若函数定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数.①只要有一对相反数不同时属于定义域A,则A关于原点不对称.如(4)②若A关于

4、原点不对称,则函数一定为非奇非偶函数.如(4)(3)观察是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的成立.(4)若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若f(-x)=f(x),则函数为偶函数.【解】A为偶函数,B为非奇非偶函数,C为奇函数,D为非奇非偶函数.答案为C.【例3】(1)函数y=-ax2+bx+5(a≠0)为偶函数充要条件是.(2)已知f(x)=(m2+m-6)x2+(m-2)x+(n+7)为奇函数,则m=,n=.【例4】　函数f(x)是奇函数,且在x>0上是增函数且有最大值6;函数g(x)是偶函数,且

5、在x>0上是减函数且有最大值-5.那么当x<0时,它们的增减性和最值情况是()A.f(x)是减函数最小值为6,g(x)是增函数最小值为-5B.f(x)是增函数最大值为6,g(x)是增函数最小值为5C.f(x)是减函数最大值为-6,g(x)也是减函数最大值为5D.f(x)是增函数且最小值为-6,g(x)是增函数且最大值为-5【答案】D【点评】(1)若f(x)为奇函数,则f(x)在两对称区间上单调性相同,若f(x)为偶函数,则f(x)在两对称区间上单调性相反.(2)若奇函数在某区间上有最大值,则在对称区间有最小值,且两值相反;

6、若偶函数在某区间上有最大值,则在对称区间有最大值,且两值相等.【例5】　已知f(x)=ax5+bx3-x+3,且f(2)=7,求f(-2).【解】　令g(x)=ax5+bx3-x,则f(x)=g(x)+3∴f(2)=g(2)+3∵f(2)=7f(2)=g(2)+3∴g(2)=f(2)-3=7-3=4∵g(x)为奇函数∴g(-2)=-4又∵f(x)=g(x)+3∴f(-2)=g(-2)+3=-4+3=-1【点评】　一般地,当题目已知f(a)的函数值求f(-a)的函数值,我们常考虑利用函数的奇偶性解题;但这时如果题中给出的是一

7、个非奇非偶函数,就需要我们根据函数表达式去构造一个奇函数或偶函数,如例5中f(x)就是一个非奇非偶函数,这时我们根据函数表达式去构造一个奇函数g(x)=x5+2x3-x,从而顺利解题.【同步训练】【答案】A【答案】B【答案】C【答案】A4.已知函数f(x)在[-7,7]上是奇函数,且f(2)f(1)C.f(-1)>f(-2)D.f(2)

8、在(-∞,0)上,它们的增减性是()A.f(x)是减函数,g(x)是增函数B.f(x)是增函数,g(x)是减函数C.f(x)是减函数,g(x)是减函数D.f(x)是增函数,g(x)是增函数【答案】B6.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是()A