第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答.doc

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1、第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答一、填空题（每小题3分，共30分）1.=1/6.2．设连续，在处可导，且满足则曲线在处的切线方程为y=2x－2.3.设,则－2.4．设函数可导且，二元函数满足，则.5.设是由曲线和直线,所围成的区域,是连续函数,则－2.6..7.数项级数的和－1+cos1+ln2.8.计算积分=1/2.9.已知入射光线的路径为,则此光线经过平面反射后的反射线方程为.10.设曲线的长度为L,则.二、(10分)设在上二阶可导，且而当时,证明在内，方程有且仅有一个实根．

2、证明由于当时，因此单调减，从而，于是又有严格单调减．再由知，最多只有一个实根．下面证明必有一实根．当时，，即，上式右端当时，趋于，因此当充分大时，，于是存在，使得，由介值定理存在，使得．综上所述，知在有而且只有一个实根．三、(10分)设有二阶连续偏导数,,且,证明在取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值.解,由全微分的定义知.A=，，,且,故是极大值.四、(10分)设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1),求证:　对于任意正整数ｎ，必存在，使．证明　令于是有　　所以　故存在

3、　使　．五、(10分)六、(10分)设函数具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面上,积分的值恒为同一常数.(1)证明:对空间区域内的任意光滑简单闭曲面,有;(2)求函数满足的表达式.(1)证明:如图,将分解为,另做曲面围绕原点且与相接,则=0.(2)由(1)可知,,其通解为,由,得,故七、(10分)如图,一平面均匀薄片是由抛物线及轴所围成的,现要求当此薄片以为支点向右方倾斜时,只要角不超过,则该薄片便不会向右翻倒,问参数最大不能超过多少?yM解倾斜前薄片的质心在,点与点的距离为,薄片不翻倒

4、的临界位置的质心在点,此时薄片底边中心在点处,有,解得,故最大不能超过..八、(10分)讨论是否存在[0,2]上满足下列条件的函数,并阐述理由:f(x)在[0,2]上有连续导数,f(0)=f(2)=1,解不存在这样的函数.当时,由题设知,且.下面证明上面的不等式不能同时取等.否则,,此时函数不满足连续可导的条件.于是故不存在满足所给条件的函数.