第十六届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题与解答

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1、2005年第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组）一、填空（20分）1.，且，则.解由，得，利用方程，得，得.2．，为无穷间断点，为可去间断点，则.解3.则.解.4.则.解5.则.解其中,得,得得.6.解.7.则解8.则解9.,周长为,则解10.设或则级数的和为_______.解=.二、存在，且求.解问题：可能是设连续，积分才有意义。三、，作图形并指出去单调区间，最值，极值，拐点.解单调增加。，，，极小值=单调减少。没有拐点.为极大值，并且为最大值。四、，求.解,得.=.注意:上面表示必须.所以题设有

2、一点问题.五、求常数的值，使函数在点处在轴正向的方向导数有最大值64.解即在，有.得.六、是原点到上点处的切平面的距离，计算.七、在上连续且单调增加，证明不等式.证方法1自变量变换（利用定积分定义或在上作变量变换.）方法2函数变换.方法3与等价,不仿设,得.方法4设,.当,可以用逼近或用定积分定义证明.方法5八、证明方程有且仅有三个实根.证记.,所以存在至少三个零点，，不可能有三个以上零点。九、（1）举例说明存在通项趋于零但发散的交错级数(2).举例说明存在收敛的正项级数,但.解（1）(2)1:=,,得

3、2:丙组题目多数一样或接近。不一样的题目有一、7．8．七、设生产某产品必须投入三种要素，分别是三种要素的投入量，为产量，为正数，三种要素的价格分别是，当产量一定时，三种要素的适当投入可使总费用最小。证明最小投入总费用与产量比为常数，并且求此常数.解利用Lagrange方法，求在条件下的最小值。得.八、当有，证明当时，级数收敛，并求和函数.注意:可去掉.解当时，级数收敛。.记,得得得.