奥数数论基础知识.pdf

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1、奥数数论基础知识一质数和合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。（2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。（3）最小的质数是2，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与

2、另一个自然数。（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．二整除性（１）概念一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）

3、，记作ba。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。（２）性质性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1

4、，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。性质4：（整除的传递性）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。（３）数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.②能被5整除的数的特征：个位是0或5。突破口③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。判断能被3（或9）整除的数还可以用“弃３（或９）法”：例如：８３５１７４６能被９整除么？解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在数字中只剩

5、７，７不是９的倍数，所以８３５１７４６不能被９整除。④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，依此反复检验。例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为

6、2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.上述办法也可以用来判断余数和末位数；对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。三约数与倍数（１）公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：４是１２和１６的最大公约数，可记做：（１２，１６）＝４（２）公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。（３）最大公

7、约数和最小公倍数的关系如果用a和b表示两个自然数１、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a，b）×[a，b]=a×b。（多用于求最小公倍数）２、（a，b）≤a，b≤[a，b]３、[a，b]是（a，b）的倍数，（a，b）是[a，b]的约数４、（a，b）是a＋b和a－b的约数，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－[a，b]的约数（４）求最大公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。例如：１、（短除法）用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？解：∵（30，60，75）=5×3=15这个数最大是15。２、（分

8、解质因数法）求１００１和３０８的最大公约数是多少？解：１００１＝７