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1、函数的单调性教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明。教学过程：(一)知识要点：单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上
2、是增函数。（2）单调减函数的定义：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数yf(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做yf(x)的单调区间。在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；（3）函数单调性的定义中
3、，实际上含有两层意思：①对于任意的x1，x2M，若x1x2，有f(x1)f(x2)，则称f(x)在M上是增函数；②若f(x)在M上是增函数，则当x1x2时，就有f(x1)f(x2)．（二）例题选讲：例1：下图是定义在[5,5]上的函数yf(x)的图像，根据图像说出单调区间，以及在每一个区间上函数yf(x)的单调性。yyf(x)解：函数yf(x)的单调区间有2[5,2)，[2,1)，[1,3)，[3,5]，其中yf(x)12在[2,1)，[3,5]上是增函数，5O135x在[5,2)，[1,3)上是减函数。说明：要
4、了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。1例2．证明函数f(x)在(0,)上是减函数。x证明：设任意x1，x2∈（0，+∞）且x1x2，111x2x1则f(x1)f(x2)，x1x2x1x2由x1，x2∈（0，+∞），得x1x20，又x1x2，得x2x10，∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)1所以，f(x)在(0,)上是减函数。x1说明：（1）一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：y在(,0)上是单调x1递减的，
5、并且在(0,)上也是单调递减的，只能说(,0)和(0,)是函数y的x两个单调递减区间，不能说(,0)(0,)是原函数的单调递减区间；2例3．定义在[1,4]上的函数f(x)为减函数，求满足不等式f(12a)f(4a)0的a的值的集合。22解：f(12a)f(4a)0∴f(12a)f(4a)，又f(x)定义在[1,4]上的减函数，112a43a02∴14a4即3a31a0212a4a1a3所以，满足题意的a取值的集合为{a
6、1a0}．ax11例4．讨论函数f(x)(a)在(2,)上的单调性。x22解：设2x1x2，
7、ax2a12a12af(x)ax2x212a12a11∴f(x2)f(x1)(a)(a)(12a)()x22x12x22x12x1x2(12a)(x22)(x12)又2x1x2，x1x2∴0(x22)(x12)1∴当12a0，即a时，f(x2)f(x1)，21当12a0，即a时，f(x2)f(x1)，21ax1所以，当a时，f(x)在(2,)为减函数；2x21ax1当a时，f(x)在(2,)为增函数。2x22例5．（1）求函数ylog0.7(x3x2)的单调区间；222（2）已知f(x)82xx,若g(x)f(2
8、x)试确定g(x)的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，22242（2）g(x)82(2x)(2x)x2x8，3g(x)4x4x，令g(x)0，得x1或0x1，令g(x)0，x1或1x0∴单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)．2例6．（1）已知函数f(x)x2(a1)x2在区间(,3]上是减函数，求实数a的取值范围；2（2）已知f(x)x2(a1)x2的单调递减区间是(,3]，求实数a的取值范围。解：（1）原二次函数的对称轴为x1a，又因为该函数
9、开口向上，所以，由题意得：31a，即a2．（2）由题意得：1a3即a2．练习巩固：1.判断下列说法是否正确?①定义在上的函数满足,则函数是上的增函数.()②定义在上的函数满足,则函数在上不是减函数.()3.下列函数在区间(0,+)上不是增函数的是（）4.A.y=2x+1B.y=x2+1C.3D.y=x2+2x+1yx4.若y=kx+2在R上为增函数，则k的范围是5.若函数
